Calcule as integrais abaixo, usando substituição trigonométricas.
\int \frac{x^{3} d x}{\sqrt{x^{2}+4}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{x^{3}\,dx}{\sqrt{x^{2}+4}}
usando substituição trigonométrica. O conteúdo é integração de funções racionais com raiz do tipo \sqrt{x^{2}+a^{2}}. Vamos usar a substituição
x = 2\tan\theta,
pois assim x^{2}+4=4\tan^{2}\!\theta+4=4\operatorname{sec}^{2}\!\theta, o que simplifica a raiz.

Passo 2

Aplicando x=2\tan\theta e dx=2\operatorname{sec}^{2}\!\theta\,d\theta, temos
\sqrt{x^{2}+4} = 2\operatorname{sec}\theta,
logo o numerador e denominador ficam
x^{3}\,dx = (2\tan\theta)^{3}\cdot 2\operatorname{sec}^{2}\!\theta\,d\theta =16\,\tan^{3}\!\theta\,\operatorname{sec}^{2}\!\theta\,d\theta,
\sqrt{x^{2}+4}=2\operatorname{sec}\theta.

Passo 3

Substituindo na integral,
\int \frac{x^{3}\,dx}{\sqrt{x^{2}+4}} = \int \frac{16\,\tan^{3}\!\theta\,\operatorname{sec}^{2}\!\theta}{2\operatorname{sec}\theta}\,d\theta =8\int \tan^{3}\!\theta\,\operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Escrevemos \tan^{3}\!\theta=\tan\theta(\operatorname{sec}^{2}\!\theta-1), então
8\int \tan^{3}\!\theta\,\operatorname{sec}\theta\,d\theta =8\int\bigl(\tan\theta\,\operatorname{sec}^{3}\!\theta-\tan\theta\,\operatorname{sec}\theta\bigr)\,d\theta.

Passo 4

Para integrar cada termo, usamos a substituição u=\operatorname{sec}\theta, du=\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta:
\int \tan\theta\,\operatorname{sec}\theta\,d\theta =\int du = \operatorname{sec}\theta + C,
\int \tan\theta\,\operatorname{sec}^{3}\!\theta\,d\theta =\int \operatorname{sec}^{2}\!\theta\,(\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta) =\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3} = \frac{\operatorname{sec}^{3}\!\theta}{3}.
Portanto,
8\int\bigl(\tan\theta\,\operatorname{sec}^{3}\!\theta-\tan\theta\,\operatorname{sec}\theta\bigr)\,d\theta =8\Bigl(\frac{\operatorname{sec}^{3}\!\theta}{3}-\operatorname{sec}\theta\Bigr) =\frac{8}{3}\operatorname{sec}^{3}\!\theta -8\operatorname{sec}\theta + C.

Passo 5

Volta ao x: como \operatorname{sec}\theta=\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{2}, temos
\operatorname{sec}^{3}\!\theta = \frac{(\sqrt{x^{2}+4})^{3}}{8} =\frac{(x^{2}+4)^{3/2}}{8}.
Logo
\frac{8}{3}\operatorname{sec}^{3}\!\theta =\frac{8}{3}\cdot\frac{(x^{2}+4)^{3/2}}{8} =\frac{(x^{2}+4)^{3/2}}{3}, \quad 8\operatorname{sec}\theta =4\sqrt{x^{2}+4}.
Assim a primitiva fica
\frac{(x^{2}+4)^{3/2}}{3}-4\sqrt{x^{2}+4}+C.

Resposta

\int \frac{x^{3}\,dx}{\sqrt{x^{2}+4}} = \frac{(x^{2}+4)^{3/2}}{3}-4\sqrt{x^{2}+4}+C.

Exercícios relacionados