Calcule as integrais abaixo, usando substituição trigonométricas.
\int \frac{\left(1-x^{2}\right)^{3 / 2}}{x^{6}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{(1 - x^2)^{3/2}}{x^6}\,dx
usando substituições trigonométricas. Como aparece \sqrt{1 - x^2}, a substituição clássica é
x = \sin\theta,
pois aí \sqrt{1 - x^2} = \cos\theta. Também vamos usar a técnica de mudança de variável em funções trigonométricas (u-substituição) para simplificar a integral resultante.

Passo 2

Fazendo x = \sin\theta, temos
dx = \cos\theta\,d\theta,
1 - x^2 = 1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta.
Substituindo na integral:
\int \frac{(1 - x^2)^{3/2}}{x^6}\,dx = \int \frac{(\cos^2\theta)^{3/2}}{\sin^6\theta}\,\bigl(\cos\theta\,d\theta\bigr) = \int \frac{\cos^3\theta}{\sin^6\theta}\,\cos\theta\,d\theta = \int \frac{\cos^4\theta}{\sin^6\theta}\,d\theta.

Passo 3

Reescrevendo em função de \cot\theta e \csc\theta:
\frac{\cos^4\theta}{\sin^6\theta} = \frac{\cos^4\theta}{\sin^4\theta}\,\frac{1}{\sin^2\theta} = \cot^4\theta\;\csc^2\theta.
Logo a integral vira
\int \cot^4\theta\;\csc^2\theta\,d\theta.

Passo 4

Para integrar \int \cot^4\theta\,\csc^2\theta\,d\theta, fazemos u = \cot\theta. Então
du = -\csc^2\theta\,d\theta \quad\Longrightarrow\quad \csc^2\theta\,d\theta = -\,du.
A integral fica
\int \cot^4\theta\;\csc^2\theta\,d\theta = \int u^4\,(-du) = -\int u^4\,du = -\frac{u^5}{5} + C = -\frac{\cot^5\theta}{5} + C.

Passo 5

Voltando à variável x: de x = \sin\theta temos \cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} = \dfrac{\sqrt{1 - x^2}}{x}. Assim
-\frac{\cot^5\theta}{5} = -\frac{1}{5}\,\Bigl(\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}\Bigr)^{5} = -\frac{(1 - x^2)^{5/2}}{5\,x^5} + C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{(1 - x^2)^{3/2}}{x^6}\,dx = -\frac{(1 - x^2)^{5/2}}{5\,x^5} + C. }

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