Calcule as integrais abaixo utilizando o método mais adequado
(j)
(Resposta:
(j)
Passo 1
Vamos resolver a integral
. Esse exercício está na área de Cálculo Integral e vamos usar o método de integração por partes, que é perfeito para integrais que são produtos de duas funções.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar:
Aqui, reescrevemos
como
para simplificar a visualização.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a fórmula de integração por partes, que é:
Precisamos escolher quais partes da nossa integral serão atribuídas a
e
.
Passo 4
Vamos fazer as seguintes escolhas:
- Escolha de
e : -
(assim, ) -
(assim, )
-
Essa escolha é estratégica porque a derivada de
(
) fica mais simples, e a integral de
(
) também é fácil de calcular.
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral restante:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Fatorando
:
Resposta
Portanto, a integral é: