Determine o domínio de:
y = raiz(x) / raiz(2*x - 1)^(1/3).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função:
Nosso objetivo é determinar o domínio dessa função, ou seja, quais valores de tornam a função válida. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre raízes quadradas e cúbicas, além de considerar as restrições que podem surgir por estar no numerador e no denominador.

Passo 2

Vamos começar analisando o numerador da fração: . A raiz quadrada está definida apenas para números não negativos. Então, para que seja real, precisamos que:
Isso significa que deve ser maior ou igual a zero.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador: . A raiz cúbica, diferente da quadrada, está definida para todos os números reais. No entanto, como está no denominador, não queremos que ela seja igual a zero, pois divisão por zero não é permitida. Então, precisamos que:
Isso implica que o que está dentro da raiz cúbica também não pode ser zero:
Resolvendo essa equação:

Passo 4

Agora, juntando as duas condições que encontramos:
  1. (para a raiz quadrada ser válida)
  2. (para o denominador não ser zero)
Isso nos dá o domínio da função. Em termos de intervalo, podemos expressar isso como todos os números reais que são maiores ou iguais a zero, exceto .

Resposta

O domínio da função é todos os números reais tais que e . Em forma de intervalo:
í

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