Determine o domínio de:
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função:
Nosso objetivo é determinar o domínio dessa função, ou seja, quais valores de
tornam a função válida. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre raízes quadradas e cúbicas, além de considerar as restrições que podem surgir por estar no numerador e no denominador.
Passo 2
Vamos começar analisando o numerador da fração:
. A raiz quadrada está definida apenas para números não negativos. Então, para que
seja real, precisamos que:
Isso significa que
deve ser maior ou igual a zero.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador:
. A raiz cúbica, diferente da quadrada, está definida para todos os números reais. No entanto, como está no denominador, não queremos que ela seja igual a zero, pois divisão por zero não é permitida. Então, precisamos que:
Isso implica que o que está dentro da raiz cúbica também não pode ser zero:
Resolvendo essa equação:
Passo 4
Agora, juntando as duas condições que encontramos:
-
(para a raiz quadrada ser válida) -
(para o denominador não ser zero)
Isso nos dá o domínio da função. Em termos de intervalo, podemos expressar isso como todos os números reais que são maiores ou iguais a zero, exceto
.
Resposta
O domínio da função é todos os números reais
tais que
e
. Em forma de intervalo: