Seja a função f(x) = 1/(x^2 - 4)
(d) É possível fazer a mesma integral usando a substituição x = 2 sec(theta) ? Se possível faça a integral. Senão indique o porquê que a substituição falha.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente integrar a função usando a substituição . A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente técnicas de substituição trigonométrica. Vamos precisar lembrar como fazer essa substituição e simplificar a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição proposta: . Isso significa que é um ângulo tal que . Agora, precisamos encontrar em termos de .
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos substituir e na integral original:
Simplificando o denominador:
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos simplificar . Sabemos que:
Portanto:
Assim, a integral fica:

Passo 5

Sabemos que a integral de é:
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Agora, precisamos voltar da substituição trigonométrica para a variável original . Lembrando que , podemos desenhar um triângulo retângulo para expressar em termos de .
Em um triângulo retângulo, se , então a hipotenusa é e o cateto adjacente é . O cateto oposto, usando o teorema de Pitágoras, é .
Portanto, .

Passo 7

Usando essa relação, podemos expressar em termos de . Sabemos que:
Mas, para simplificar, podemos usar a identidade:
E sabendo que , substituímos:

Resposta

Portanto, a integral de usando a substituição é:

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