Calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A integranda é
. - Quer-se uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função cuja derivada seja a integranda, mais a constante de integração
.
Passo 2
Reescrever a raiz como potência fracionária facilita muito os cálculos. Lembre que a raiz enésima pode ser escrita como potência com expoente
. Assim:
Portanto a integral fica
Passo 3
Vamos usar a regra básica de integração para potências: para qualquer número real
com
,
Explicando por que isso vale: se
, então pela regra da potência na diferenciação obtém-se
logo
é uma primitiva de
.
Passo 4
Aqui temos
. Calcule
:
Aplicando a fórmula da Passo 3:
Passo 5
Simplificar a fração dividindo por
equivale a multiplicar por
. Assim:
Observação rápida: como o denominador da potência é
(ímpar), as potências fracionárias são definidas para
real (a raiz de índice ímpar de número negativo é real), então a expressão faz sentido para
real. Não esqueça da constante de integração
.