Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \sqrt[7]{x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sqrt[7]{x^{3}}\,dx.
Informações dadas:
  • A integranda é \sqrt[7]{x^{3}}.
  • Quer-se uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função cuja derivada seja a integranda, mais a constante de integração C.

Passo 2

Reescrever a raiz como potência fracionária facilita muito os cálculos. Lembre que a raiz enésima pode ser escrita como potência com expoente 1/n. Assim:
\sqrt[7]{x^{3}} = (x^{3})^{1/7} = x^{3/7}.
Portanto a integral fica
\int \sqrt[7]{x^{3}}\,dx = \int x^{3/7}\,dx.

Passo 3

Vamos usar a regra básica de integração para potências: para qualquer número real n com n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Explicando por que isso vale: se F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}, então pela regra da potência na diferenciação obtém-se
F'(x)=\frac{n+1}{n+1}\,x^{n}=x^{n},
logo F é uma primitiva de x^{n}.

Passo 4

Aqui temos n=\dfrac{3}{7}. Calcule n+1:
n+1=\frac{3}{7}+1=\frac{3}{7}+\frac{7}{7}=\frac{10}{7}.
Aplicando a fórmula da Passo 3:
\int x^{3/7}\,dx=\frac{x^{10/7}}{10/7}+C.

Passo 5

Simplificar a fração dividindo por 10/7 equivale a multiplicar por 7/10. Assim:
\frac{x^{10/7}}{10/7}=\frac{7}{10}\,x^{10/7}.
Observação rápida: como o denominador da potência é 7 (ímpar), as potências fracionárias são definidas para x real (a raiz de índice ímpar de número negativo é real), então a expressão faz sentido para x real. Não esqueça da constante de integração C.

Resposta

\dfrac{7}{10}\,x^{10/7}+C

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