Calcule as integrais, caso elas existam, e se as funções não forem integráveis, justifique.
(a) \int_{0}^{2} f(x) d x, onde f(x)=\left\{\begin{array}{cc}1, & 0 \leq x<1 \\\\ 4, & x=1 \\\\ 2, & 1<x \leq 2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int_{0}^{2} f(x)\,dx
onde
f(x)= \begin{cases} 1,&0\le x<1,\\\\ 4,&x=1,\\\\ 2,&1<x\le2. \end{cases}
O conteúdo aqui é integral de Riemann de função limitada com descontinuidade em ponto isolado.

Passo 2

Observamos que f é limitada em [0,2] e só é descontínua em x=1, um conjunto de medida zero. Pelo critério de Riemann, descontinuidades em conjunto de medida zero não impedem integrabilidade. Logo, f é Riemann-integrável em [0,2].

Passo 3

Para calcular a integral, quebramos o intervalo nos subintervalos onde f é constante quase em toda parte:
\int_{0}^{2}f(x)\,dx =\int_{0}^{1}1\,dx +\int_{1}^{2}2\,dx.
O valor de f em x=1 não altera o valor da integral, pois é num ponto isolado.

Passo 4

Calculando cada parte, temos
\int_{0}^{1}1\,dx =1\cdot(1-0)=1,
\int_{1}^{2}2\,dx =2\cdot(2-1)=2.
Somando, obtemos
\int_{0}^{2}f(x)\,dx=1+2=3.

Resposta

\displaystyle 3

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