Calcule as integrais, caso elas existam, e se as funções não forem integráveis, justifique.
(a) \int_{0}^{2} f(x) d x, onde f(x)=\left\{\begin{array}{cc}1, & 0 \leq x<1 \\\\ 4, & x=1 \\\\ 2, & 1<x \leq 2\end{array}\right.
O conteúdo aqui é integral de Riemann de função limitada com descontinuidade em ponto isolado.
Passo 2
Observamos que f é limitada em [0,2] e só é descontínua em x=1, um conjunto de medida zero. Pelo critério de Riemann, descontinuidades em conjunto de medida zero não impedem integrabilidade. Logo, f é Riemann-integrável em [0,2].
Passo 3
Para calcular a integral, quebramos o intervalo nos subintervalos onde f é constante quase em toda parte: