Em cada um dos itens abaixo, esboce a representação geométrica da região limitada, que chamaremos de
, contida no plano
, delimitada pelas representações geométricas dos gráficos das equações dadas. Além disso, determine, usando o método das cascas cilíndricas, o volume do sólido gerado ppela rotação da região
, em torno do eixo indicado.
(f)
e o eixo
;
(f)
Passo 1
O enunciado pede a região
do plano
limitada pelas curvas
no primeiro quadrante, e o volume do sólido obtido ao girar
em torno do eixo
usando o método das cascas cilíndricas. Para resolver vamos:
- Encontrar as interseções dessas curvas.
- Expressar
em termos de . - Montar o integral de cascas cilíndricas.
- Calcular o integral.
Passo 2
Para achar onde as curvas se encontram igualamos
Elevando ao quadrado:
Em
, temos
. Logo as interseções são
e
.
Passo 3
No primeiro quadrante, para
, a curva
fica abaixo de
. Assim
pode ser descrita por
Passo 4
Ao girar
em torno do eixo
, cada casca cilíndrica tem:
- raio
, - altura
, - espessura
.
O volume é
Passo 5
Escrevendo
, o integrando fica
Logo
Passo 6
Calculemos cada integral:
Portanto