Em cada um dos itens abaixo, esboce a representação geométrica da região limitada, que chamaremos de R, contida no plano x y, delimitada pelas representações geométricas dos gráficos das equações dadas. Além disso, determine, usando o método das cascas cilíndricas, o volume do sólido gerado ppela rotação da região R, em torno do eixo indicado.
(f) 16 y=x^{2}, y^{2}=2 x e o eixo y;

Passo 1

O enunciado pede a região R do plano xy limitada pelas curvas
y=\frac{x^2}{16} \quad\text{e}\quad y=\sqrt{2x}
no primeiro quadrante, e o volume do sólido obtido ao girar R em torno do eixo y usando o método das cascas cilíndricas. Para resolver vamos:
  1. Encontrar as interseções dessas curvas.
  2. Expressar R em termos de x.
  3. Montar o integral de cascas cilíndricas.
  4. Calcular o integral.

Passo 2

Para achar onde as curvas se encontram igualamos
\frac{x^2}{16}=\sqrt{2x}.
Elevando ao quadrado:
\frac{x^4}{256}=2x \;\Longrightarrow\; x^4=512\,x \;\Longrightarrow\; x(x^3-512)=0 \;\Longrightarrow\; x=0\quad\text{ou}\quad x^3=512\;\Rightarrow\;x=8.
Em x=8, temos y=\sqrt{2\cdot8}=\sqrt{16}=4. Logo as interseções são (0,0) e (8,4).

Passo 3

No primeiro quadrante, para 0\le x\le8, a curva y=\frac{x^2}{16} fica abaixo de y=\sqrt{2x}. Assim R pode ser descrita por
0\le x\le8, \quad \frac{x^2}{16}\le y\le\sqrt{2x}.

Passo 4

Ao girar R em torno do eixo y, cada casca cilíndrica tem:
  • raio =x,
  • altura =\sqrt{2x}-\frac{x^2}{16},
  • espessura dx.
O volume é
V =2\pi\int_{x=0}^{8}x\Bigl(\sqrt{2x}-\tfrac{x^2}{16}\Bigr)\,dx.

Passo 5

Escrevendo \sqrt{2x}=\sqrt{2}\,x^{1/2}, o integrando fica
x\Bigl(\sqrt{2}\,x^{1/2}-\tfrac{x^2}{16}\Bigr) =\sqrt{2}\,x^{3/2}-\tfrac{x^3}{16}.
Logo
V =2\pi\Bigl[ \sqrt{2}\!\int_{0}^{8}x^{3/2}dx \;-\;\tfrac{1}{16}\!\int_{0}^{8}x^3dx \Bigr].

Passo 6

Calculemos cada integral:
\int_{0}^{8}x^{3/2}dx =\frac{2}{5}x^{5/2}\Big|_{0}^{8} =\frac{2}{5}\,8^{5/2} =\frac{2}{5}\cdot128\sqrt{2} =\frac{256\sqrt{2}}{5},
\int_{0}^{8}x^3dx =\frac{x^4}{4}\Big|_{0}^{8} =\frac{8^4}{4} =\frac{4096}{4} =1024.
Portanto
V =2\pi\Bigl[\sqrt{2}\,\frac{256\sqrt{2}}{5}-\tfrac{1}{16}\,1024\Bigr] =2\pi\Bigl[\frac{256\cdot2}{5}-64\Bigr] =2\pi\Bigl[\frac{512}{5}-\frac{320}{5}\Bigr] =2\pi\cdot\frac{192}{5} =\frac{384\pi}{5}.

Resposta

V=\frac{384\pi}{5}.

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