Calcule as integrais que convirjam.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
e verificar se ela converge.
Aqui o ponto crítico é , pois ali o integrando
fica singular. Para decidir convergência, vamos analisar o comportamento de
conforme
e depois encontrar a primitiva.
Aqui o ponto crítico é
Passo 2
Reescrevemos o integrando usando potências de
:
Como a integral vai de
até
, o único problema é em
. Para funções do tipo
em
, sabemos que
converge se, e somente se,
. Aqui temos
, e de fato
logo a integral deve convergir.
Passo 3
Agora vamos calcular a primitiva de
. Em geral, para
com
,
No nosso caso
, então
e a primitiva é
Passo 4
Aplicando os limites de
a
:
Portanto a integral converge e seu valor é
.