Calcule as integrais que convirjam.
\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}\,dx
e verificar se ela converge.
Aqui o ponto crítico é x=0, pois ali o integrando x^{-2/3} fica singular. Para decidir convergência, vamos analisar o comportamento de x^{-2/3} conforme x\to0^+ e depois encontrar a primitiva.

Passo 2

Reescrevemos o integrando usando potências de x:
\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} = x^{-2/3}.
Como a integral vai de 0 até 1, o único problema é em 0. Para funções do tipo x^{p} em [0,1], sabemos que
\int_{0}^{1}x^{p}\,dx
converge se, e somente se, p>-1. Aqui temos p=-\tfrac{2}{3}, e de fato
-\,\tfrac{2}{3} > -1,
logo a integral deve convergir.

Passo 3

Agora vamos calcular a primitiva de x^{-2/3}. Em geral, para x^{\alpha} com \alpha\neq -1,
\int x^{\alpha}\,dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}.
No nosso caso \alpha = -\tfrac{2}{3}, então
\alpha+1 = -\tfrac{2}{3} + 1 = \tfrac{1}{3},
e a primitiva é
\int x^{-2/3}\,dx = \frac{x^{1/3}}{\tfrac{1}{3}} = 3\,x^{1/3}.

Passo 4

Aplicando os limites de 0 a 1:
\int_{0}^{1}x^{-2/3}\,dx = \bigl[\,3\,x^{1/3}\bigr]_{0}^{1} = 3\,(1^{1/3}) - 3\,(0^{1/3}) = 3 - 0 = 3.
Portanto a integral converge e seu valor é 3.

Resposta

3

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