Calcule o valor da integral de linha \int_{C} x z d x+x d y-y z d z sendo C a curva no espaço constituída pela porção de circunferência de centro O=(0,0,0) que une o ponto A=(0,0,1) ao ponto B=(1,0,0), seguido de um segmento de reta que une B=(1,0,0) ao ponto D=(0,1,0), e de outro segmento de reta que une D=(0,1,0) ao ponto E=(0,1,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha \displaystyle \int_{C} x\,z\,dx + x\,dy - y\,z\,dz
ao longo da curva C que é composta por três partes:
– a porção de circunferência de raio 1 e centro em O=(0,0,0) que vai de A=(0,0,1) a B=(1,0,0);
– o segmento de reta de B=(1,0,0) a D=(0,1,0);
– o segmento de reta de D=(0,1,0) a E=(0,1,1).
Para resolver, vamos parametrizar cada trecho, calcular a respectiva integral e somar os resultados.

Passo 2

Parametrizamos a arco AB no plano y=0 por
x=\sin t,\quad y=0,\quad z=\cos t,\quad t\in[0,\tfrac\pi2],
de modo que em t=0 temos A e em t=\tfrac\pi2 temos B. Então
dx=\cos t\,dt,\quad dz=-\sin t\,dt,\quad dy=0.
No integrando sobra apenas x\,z\,dx, pois y=0. Isso dá
\int_{AB}x\,z\,dx =\int_{0}^{\frac\pi2}\bigl(\sin t\cdot\cos t\bigr)\bigl(\cos t\,dt\bigr) =\int_{0}^{\frac\pi2}\sin t\,\cos^2 t\,dt.
Fazendo u=\cos t, du=-\sin t\,dt, obtemos
\int_{0}^{\frac\pi2}\sin t\,\cos^2 t\,dt =-\int_{u=\cos0}^{\,u=\cos\frac\pi2}u^2\,du =-\Bigl[\tfrac{u^3}{3}\Bigr]_{1}^{0} =\tfrac{1}{3}.

Passo 3

Parametrizamos o segmento BD por
x=1-t,\quad y=t,\quad z=0,\quad t\in[0,1],
de modo que dx=-dt, dy=dt, dz=0. No integrando só resta x\,dy, pois z=0. Assim
\int_{BD}x\,dy =\int_{0}^{1}(1-t)\,dt =\Bigl[t-\tfrac{t^2}{2}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac12.

Passo 4

Parametrizamos o segmento DE por
x=0,\quad y=1,\quad z=t,\quad t\in[0,1],
então dx=dy=0, dz=dt. No integrando só resta -y\,z\,dz=-1\cdot t\,dt. Logo
\int_{DE}-y\,z\,dz =\int_{0}^{1}-t\,dt =-\tfrac12.

Passo 5

Somando as três contribuições, temos
\frac13 + \frac12 - \frac12 = \frac13.

Resposta

\displaystyle \frac13

Exercícios relacionados