Calcule o valor da integral de linha
sendo
a curva no espaço constituída pela porção de circunferência de centro
que une o ponto
ao ponto
, seguido de um segmento de reta que une
ao ponto
, e de outro segmento de reta que une
ao ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
ao longo da curva que é composta por três partes:
– a porção de circunferência de raio 1 e centro em que vai de
a
;
– o segmento de reta de a
;
– o segmento de reta de a
.
Para resolver, vamos parametrizar cada trecho, calcular a respectiva integral e somar os resultados.
ao longo da curva
– a porção de circunferência de raio 1 e centro em
– o segmento de reta de
– o segmento de reta de
Para resolver, vamos parametrizar cada trecho, calcular a respectiva integral e somar os resultados.
Passo 2
Parametrizamos a arco
no plano
por
de modo que em
temos
e em
temos
. Então
No integrando sobra apenas
, pois
. Isso dá
Fazendo
,
, obtemos
Passo 3
Parametrizamos o segmento
por
de modo que
,
,
. No integrando só resta
, pois
. Assim
Passo 4
Parametrizamos o segmento
por
então
,
. No integrando só resta
. Logo
Passo 5
Somando as três contribuições, temos