Dada a curva no espaço definida parametricamente por r(t)=\left(t, t^{2}, 0\right), compreendida entre os pontos A=(1,1,0) e B=(2,4,0), e sendo o campo escalar f(x, y, z)=x y z+x^{2} y^{3}, calcule \int_{C} f d s.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva C parametrizada por
r(t) = \bigl(t,\;t^2,\;0\bigr),
entre os pontos A=(1,1,0) e B=(2,4,0), e o campo escalar
f(x,y,z) = x\,y\,z \;+\; x^2\,y^3.
Precisamos calcular a integral de linha
\int_C f\,ds,
isto é, usar a parametrização para escrever
\int_{t_1}^{t_2} f\bigl(r(t)\bigr)\,\bigl\|r'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Determinar os limites de t. No ponto A=(1,1,0) temos t=1, e em B=(2,4,0) temos t=2. Logo, o parâmetro varia de t=1 a t=2.

Passo 3

Avaliar f ao longo da curva: como z(t)=0, o termo x\,y\,z se anula; resta
f\bigl(r(t)\bigr) = x^2\,y^3 = t^2\,(t^2)^3 = t^2\,t^6 = t^8.

Passo 4

Calcular a derivada r'(t) e seu comprimento:
r'(t) = \bigl(1,\;2t,\;0\bigr), \qquad \bigl\|r'(t)\bigr\| = \sqrt{1 + (2t)^2} = \sqrt{1 + 4t^2}.

Passo 5

Montar a integral de linha como integral de parâmetro:
\int_C f\,ds = \int_{1}^{2} t^8 \,\sqrt{1 + 4t^2}\;dt.

Passo 6

Para um valor numérico, podemos aproximar por regra de Simpson (ou outro método), obtendo
\int_{1}^{2} t^8 \sqrt{1 + 4t^2}\,dt \approx 213{,}8.

Resposta

\int_C f\,ds = \int_{1}^{2} t^8 \sqrt{1 + 4t^2}\,dt \approx 213{,}8.

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