Calcule as integrais definidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações importantes dadas:
- O intervalo de integração é
. - A função integranda é
. - Observação imediata: a expressão
não está definida em (divisão por zero). Portanto trata-se de uma integral imprópria se quisermos integrar em todo .
Passo 2
Simplificar a expressão algébrica (válido para
). Dividindo termo a termo:
Aqui explique o que fiz: para dividir monômios usamos a regra
. No primeiro termo
. No segundo,
. Repare que a simplificação mostra explicitamente a singularidade em
por causa do termo
.
Passo 3
Como há singularidade em
devemos tratar a integral como imprópria. A definição padrão é dividir em duas integrais próprias nas quais tomamos limites:
Nota didática: cada uma das integrais à esquerda e à direita de zero deve convergir separadamente para que a integral imprópria (no sentido usual) seja considerada convergente. Existe também o conceito de valor principal de Cauchy (principal value), onde se toma limites simétricos em torno de zero; esse valor pode existir mesmo quando as integrais laterais divergem.
Passo 4
Calcular as primitivas das duas parcelas para
:
- Para
a primitiva é , porque a derivada de é . - Para
a primitiva é , porque a derivada de é .
Portanto, para
temos
e
Passo 5
Avaliar cada uma e somar (fazendo contas com cuidado):
Para a parte quadrática (termo ):
Para a parte quadrática (termo
Ou seja, as contribuições de
nas duas integrais somam zero para qualquer
.
Para a parte com logaritmo (termo
):
Portanto, para qualquer
a soma das duas integrais (desde
até
e de
até
) é igual a
.
Passo 6
Interpretação dos limites:
- Se tomarmos a soma simétrica e em seguida o limite
, obtemos . Isso é exatamente o valor principal de Cauchy (principal value): . - Porém, para a definição usual de integral imprópria é necessário que as integrais
e existam separadamente (cada uma como limite unilateral). Essas integrais não existem (divergem para e , devido ao termo ), logo a integral imprópria no sentido usual NÃO converge.
Resumo didático rápido: a função é ímpar (
) para
, e em intervalos simétricos o valor principal de uma função ímpar pode ser zero; mas a presença da singularidade em zero impede a convergência das integrais laterais separadas.
Resposta
A integral imprópria, no sentido usual, diverge (não converge).
Valor principal de Cauchy: .
Valor principal de Cauchy: