Calcule as integrais definidas abaixo:
\int_{-7}^{7}\left(\frac{x^{3}-x}{x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-7}^{7}\left(\frac{x^{3}-x}{x^{2}}\right)\,dx.
Informações importantes dadas:
  • O intervalo de integração é [-7,7].
  • A função integranda é \dfrac{x^{3}-x}{x^{2}}.
  • Observação imediata: a expressão \dfrac{x^{3}-x}{x^{2}} não está definida em x=0 (divisão por zero). Portanto trata-se de uma integral imprópria se quisermos integrar em todo [-7,7].

Passo 2

Simplificar a expressão algébrica (válido para x\neq0). Dividindo termo a termo:
\frac{x^{3}-x}{x^{2}}=\frac{x^{3}}{x^{2}}-\frac{x}{x^{2}}=x-\frac{1}{x},\qquad (x\neq0).
Aqui explique o que fiz: para dividir monômios usamos a regra x^{m}/x^{n}=x^{m-n}. No primeiro termo x^{3}/x^{2}=x^{1}=x. No segundo, x/x^{2}=x^{1-2}=x^{-1}=1/x. Repare que a simplificação mostra explicitamente a singularidade em x=0 por causa do termo 1/x.

Passo 3

Como há singularidade em x=0 devemos tratar a integral como imprópria. A definição padrão é dividir em duas integrais próprias nas quais tomamos limites:
\int_{-7}^{7}\left(x-\frac{1}{x}\right)\,dx = \lim_{a\to0^{+}}\left(\int_{-7}^{-a}\left(x-\frac{1}{x}\right)\,dx+\int_{a}^{7}\left(x-\frac{1}{x}\right)\,dx\right).
Nota didática: cada uma das integrais à esquerda e à direita de zero deve convergir separadamente para que a integral imprópria (no sentido usual) seja considerada convergente. Existe também o conceito de valor principal de Cauchy (principal value), onde se toma limites simétricos em torno de zero; esse valor pode existir mesmo quando as integrais laterais divergem.

Passo 4

Calcular as primitivas das duas parcelas para x\neq0:
  • Para x a primitiva é \dfrac{x^{2}}{2}, porque a derivada de \dfrac{x^{2}}{2} é x.
  • Para -\dfrac{1}{x} a primitiva é -\ln|x|, porque a derivada de \ln|x| é \dfrac{1}{x}.
Portanto, para 0<a<7 temos
\int_{-7}^{-a}\left(x-\frac{1}{x}\right)\,dx =\left[\frac{x^{2}}{2}-\ln|x|\right]_{x=-7}^{x=-a}
e
\int_{a}^{7}\left(x-\frac{1}{x}\right)\,dx =\left[\frac{x^{2}}{2}-\ln|x|\right]_{x=a}^{x=7}.

Passo 5

Avaliar cada uma e somar (fazendo contas com cuidado):
Para a parte quadrática (termo x):
\left(\frac{(-a)^{2}}{2}-\frac{(-7)^{2}}{2}\right)+\left(\frac{7^{2}}{2}-\frac{a^{2}}{2}\right) =\left(\frac{a^{2}}{2}-\frac{49}{2}\right)+\left(\frac{49}{2}-\frac{a^{2}}{2}\right)=0.
Ou seja, as contribuições de x nas duas integrais somam zero para qualquer a.
Para a parte com logaritmo (termo -1/x):
\big(-\ln|{-a}|+ \ln|{-7}|\big)+\big(-\ln|7|+\ln|a|\big) = (-\ln a + \ln7) + (-\ln7 + \ln a)=0.
Portanto, para qualquer a>0 a soma das duas integrais (desde -7 até -a e de a até 7) é igual a 0.

Passo 6

Interpretação dos limites:
  • Se tomarmos a soma simétrica e em seguida o limite a\to0^{+}, obtemos 0. Isso é exatamente o valor principal de Cauchy (principal value): \operatorname{PV}\int_{-7}^{7}\dfrac{x^{3}-x}{x^{2}}\,dx=0.
  • Porém, para a definição usual de integral imprópria é necessário que as integrais \int_{-7}^{0} e \int_{0}^{7} existam separadamente (cada uma como limite unilateral). Essas integrais não existem (divergem para +\infty e -\infty, devido ao termo -1/x), logo a integral imprópria no sentido usual NÃO converge.
Resumo didático rápido: a função é ímpar ( f(-x)=-f(x)) para x\neq0, e em intervalos simétricos o valor principal de uma função ímpar pode ser zero; mas a presença da singularidade em zero impede a convergência das integrais laterais separadas.

Resposta

A integral imprópria, no sentido usual, diverge (não converge).
Valor principal de Cauchy: \;0.

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