Calcule as integrais definidas abaixo:
\int_{-\pi^{2}}^{\pi^{2}}\left(x^{5}+x^{3}-x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{-\pi^{2}}^{\pi^{2}}\left(x^{5}+x^{3}-x\right)\,dx.
Informações dadas:
  • Os limites de integração são simétricos em torno de zero: de -\pi^{2} até \pi^{2}.
  • A função integranda é x^{5}+x^{3}-x.
    A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Observação sobre cada termo da integranda: analisar a paridade (ímpar ou par) das funções x^{5}, x^{3} e x.
Definição: dizemos que uma função f é ímpar se vale f(-x)=-f(x) para todo x do domínio, e é par se f(-x)=f(x).
Verificação termo a termo:
(-x)^{5} = -x^{5}, \qquad (-x)^{3} = -x^{3}, \qquad (-x) = -x.
Portanto cada termo é uma função ímpar. A soma de funções ímpares também é ímpar, então a função
f(x)=x^{5}+x^{3}-x
é uma função ímpar, isto é,
f(-x)=-f(x).

Passo 3

Propriedade útil (e muito prática na prova): se f é função ímpar e a>0, então
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0.
Demonstração curta dessa propriedade: escrevendo a integral como soma das metades,
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \int_{-a}^{0} f(x)\,dx + \int_{0}^{a} f(x)\,dx.
Na primeira integral, faça a mudança de variável u=-x. Quando x vai de -a a 0, u vai de a a 0, e dx=-du. Isso dá
\int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_{a}^{0} f(-u)\,(-du) = \int_{0}^{a} f(-u)\,du.
Como f é ímpar, f(-u)=-f(u). Então
\int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_{0}^{a} -f(u)\,du = -\int_{0}^{a} f(u)\,du.
Somando com \int_{0}^{a} f(x)\,dx obtemos zero:
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = -\int_{0}^{a} f(u)\,du + \int_{0}^{a} f(x)\,dx = 0.
Essa propriedade elimina a necessidade de integrar explicitamente em muitos casos.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao nosso problema: a integranda f(x)=x^{5}+x^{3}-x é ímpar (ver Passo 2) e os limites são simétricos com a=\pi^{2}. Pelo resultado do Passo 3, a integral vale zero:
\int_{-\pi^{2}}^{\pi^{2}}\left(x^{5}+x^{3}-x\right)\,dx = 0.

Passo 5

(Método alternativo, para treinamento: integrar termo a termo e avaliar as primitivavs, vendo a mesma conclusão.)
Regra do poder: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aplicando aos termos, uma primitiva de f é
F(x)=\dfrac{x^{6}}{6}+\dfrac{x^{4}}{4}-\dfrac{x^{2}}{2}.
Avaliar a integral definida dá
\int_{-\pi^{2}}^{\pi^{2}} f(x)\,dx = F(\pi^{2})-F(-\pi^{2}).
Como F é composta apenas de potências pares de x (exponentes 6, 4, 2), tem-se F(-\pi^{2})=F(\pi^{2}). Logo a diferença é zero, confirmando o resultado do Passo 4.

Passo 6

Resumo e incentivo: a maneira mais rápida em prova é reconhecer a paridade ímpar da integranda e usar a propriedade do Passo 3 — isso economiza tempo e cálculos. Boa! Essa estratégia vale para muitas integrais com limites simétricos.

Resposta

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