Calcule as integrais definidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas:
- Os limites de integração são simétricos em torno de zero: de
até . - A função integranda é
.
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Observação sobre cada termo da integranda: analisar a paridade (ímpar ou par) das funções
,
e
.
Definição: dizemos que uma função é ímpar se vale
para todo
do domínio, e é par se
.
Definição: dizemos que uma função
Verificação termo a termo:
Portanto cada termo é uma função ímpar. A soma de funções ímpares também é ímpar, então a função
é uma função ímpar, isto é,
Passo 3
Propriedade útil (e muito prática na prova): se
é função ímpar e
, então
Demonstração curta dessa propriedade: escrevendo a integral como soma das metades,
Na primeira integral, faça a mudança de variável
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
, e
. Isso dá
Como
é ímpar,
. Então
Somando com
obtemos zero:
Essa propriedade elimina a necessidade de integrar explicitamente em muitos casos.
Passo 4
Aplicando a propriedade ao nosso problema: a integranda
é ímpar (ver Passo 2) e os limites são simétricos com
. Pelo resultado do Passo 3, a integral vale zero:
Passo 5
(Método alternativo, para treinamento: integrar termo a termo e avaliar as primitivavs, vendo a mesma conclusão.)
Regra do poder: para ,
Regra do poder: para
Aplicando aos termos, uma primitiva de
é
Avaliar a integral definida dá
Como
é composta apenas de potências pares de
(exponentes
,
,
), tem-se
. Logo a diferença é zero, confirmando o resultado do Passo 4.
Passo 6
Resumo e incentivo: a maneira mais rápida em prova é reconhecer a paridade ímpar da integranda e usar a propriedade do Passo 3 — isso economiza tempo e cálculos. Boa! Essa estratégia vale para muitas integrais com limites simétricos.