Calcule as integrais definidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Dados fornecidos:
- Função integranda:
. - Limites de integração: inferior
e superior .
Passo 2
Observação sobre simetria (útil para simplificar cálculos). Uma função
é par se
para todo
. Aqui a integranda é
Verificar a paridade:
portanto
é uma função par. Para integrais de funções pares sobre um intervalo simétrico
vale a propriedade
Vou usar essa propriedade com
para reduzir o trabalho.
Passo 3
Aplicando a propriedade de função par:
Agora calculamos a integral indefinida de
. A regra básica é a potência: para
,
Aplicando para
e
:
Passo 4
Avaliar a integral definida usando a primitiva encontrada:
Como a primitiva em
é zero (todos os termos com potências ímpares de
valem
), basta calcular no limite superior
.
Passo 5
Calcular potências de
. Primeiro algumas potências úteis:
Passo 6
Substituir
e
na expressão da integral:
Simplificar cada fração:
Portanto
Passo 7
Calcular a diferença de frações com denominador comum. Tomando denominador
:
Logo
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
: