Calcule as integrais definidas abaixo:
\int_{-\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\left(x^{4}-x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{-\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\left(x^{4}-x^{2}\right)\,dx.
Dados fornecidos:
  • Função integranda: \;x^{4}-x^{2}.
  • Limites de integração: inferior \;-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\; e superior \;\dfrac{\sqrt{2}}{2}\;.

Passo 2

Observação sobre simetria (útil para simplificar cálculos). Uma função f é par se f(-x)=f(x) para todo x. Aqui a integranda é
f(x)=x^{4}-x^{2}.
Verificar a paridade:
f(-x)=(-x)^{4}-(-x)^{2}=x^{4}-x^{2}=f(x),
portanto f é uma função par. Para integrais de funções pares sobre um intervalo simétrico [ -a,a] vale a propriedade
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx.
Vou usar essa propriedade com a=\dfrac{\sqrt{2}}{2} para reduzir o trabalho.

Passo 3

Aplicando a propriedade de função par:
\int_{-\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\left(x^{4}-x^{2}\right)\,dx =2\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\left(x^{4}-x^{2}\right)\,dx.
Agora calculamos a integral indefinida de x^{4}-x^{2}. A regra básica é a potência: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando para n=4 e n=2:
\int\left(x^{4}-x^{2}\right)\,dx=\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{3}}{3}+C.

Passo 4

Avaliar a integral definida usando a primitiva encontrada:
2\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\left(x^{4}-x^{2}\right)\,dx =2\left[\frac{x^{5}}{5}-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}}.
Como a primitiva em 0 é zero (todos os termos com potências ímpares de 0 valem 0), basta calcular no limite superior \;x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 5

Calcular potências de a=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Primeiro algumas potências úteis:
a=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad a^{2}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},
a^{3}=a^{2}\cdot a=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4},
a^{4}=(a^{2})^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4},
a^{5}=a^{4}\cdot a=\frac{1}{4}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{8}.

Passo 6

Substituir a^{5} e a^{3} na expressão da integral:
2\left(\frac{a^{5}}{5}-\frac{a^{3}}{3}\right) =2\left(\frac{\frac{\sqrt{2}}{8}}{5}-\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{3}\right).
Simplificar cada fração:
\frac{\frac{\sqrt{2}}{8}}{5}=\frac{\sqrt{2}}{8}\cdot\frac{1}{5}=\frac{\sqrt{2}}{40}, \qquad \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{4}\cdot\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}}{12}.
Portanto
2\left(\frac{\sqrt{2}}{40}-\frac{\sqrt{2}}{12}\right) =2\sqrt{2}\left(\frac{1}{40}-\frac{1}{12}\right).

Passo 7

Calcular a diferença de frações com denominador comum. Tomando denominador 120:
\frac{1}{40}=\frac{3}{120},\qquad \frac{1}{12}=\frac{10}{120},
\frac{1}{40}-\frac{1}{12}=\frac{3-10}{120}=-\frac{7}{120}.
Logo
2\sqrt{2}\left(-\frac{7}{120}\right)=-\frac{14\sqrt{2}}{120}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 2:
-\frac{14\sqrt{2}}{120}=-\frac{7\sqrt{2}}{60}.

Resposta

-\dfrac{7\sqrt{2}}{60}

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