Calcule as integrais definidas abaixo:
\int_{0}^{1}\left(x^{2}+\cos x+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}+\cos x+1\bigr)\,dx.
O conteúdo envolve usar a linearidade da integral, encontrar primitivas de funções básicas e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Pela propriedade de linearidade, separamos em três integrais:
\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}+\cos x+1\bigr)\,dx = \int_{0}^{1}x^{2}\,dx + \int_{0}^{1}\cos x\,dx + \int_{0}^{1}1\,dx.

Passo 3

Para \displaystyle \int_{0}^{1}x^{2}\,dx, a primitiva de x^{2} é \tfrac{x^{3}}{3}. Logo,
\int_{0}^{1}x^{2}\,dx = \Bigl[\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{1^{3}}{3}-\tfrac{0^{3}}{3} = \tfrac{1}{3}.

Passo 4

Para \displaystyle \int_{0}^{1}\cos x\,dx, a primitiva de \cos x é \sin x. Assim,
\int_{0}^{1}\cos x\,dx = \bigl[\sin x\bigr]_{0}^{1} = \sin(1)-\sin(0) = \sin(1).

Passo 5

Para \displaystyle \int_{0}^{1}1\,dx, a primitiva de 1 é x. Então,
\int_{0}^{1}1\,dx = \bigl[x\bigr]_{0}^{1} = 1-0 = 1.

Passo 6

Somando os três resultados:
\tfrac{1}{3} \;+\;\sin(1)\;+\;1 \;=\; \tfrac{4}{3}+\sin(1).

Resposta

\frac{4}{3} + \sin(1).

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