Calcule as integrais definidas abaixo:
\int_{0}^{\pi} \frac{2 x}{1+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi} \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx.
O conteúdo aqui é reconhecer que a derivada de 1+x^{2} é 2x, o que sugere usar a primitiva do tipo \int f'(x)/f(x)\,dx=\ln|f(x)|.

Passo 2

Fazemos a observação de que, se definirmos
u = 1 + x^{2},
então
du = 2x\,dx.
Assim,
\int \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx = \int \frac{du}{u} = \ln|u| + C = \ln\bigl(1+x^{2}\bigr) + C.

Passo 3

Como queremos a integral de 0 a \pi, avaliamos a primitiva nos limites:
\left[\ln\bigl(1+x^{2}\bigr)\right]_{0}^{\pi} = \ln\bigl(1+\pi^{2}\bigr) - \ln\bigl(1+0^{2}\bigr) = \ln\bigl(1+\pi^{2}\bigr) - \ln(1) = \ln\bigl(1+\pi^{2}\bigr).

Resposta

\int_{0}^{\pi} \frac{2x}{1+x^{2}}\,dx = \ln\bigl(1+\pi^{2}\bigr).

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