Calcule as integrais definidas abaixo.
integral-pi / 2^pi / 2(8 t^2+cos (t)) d t

Passo 1

Na integral proposta, vamos calcular integral-pi2^pi2 (8t^2 + cos(t)) , dt. O conteúdo aqui é integral definida de soma de funções polinomiais e trigonométricas, usando a linearidade da integral e propriedades de funções pares.

Passo 2

Pela linearidade da integral, separamos em duas integrais mais simples:
integral-pi2^pi2 l(8t^2 + cos(t)r) , dt = integral-pi2^pi2 8t^2 , dt + integral-pi2^pi2 cos(t) , dt

Passo 3

Repare que as funções 8t^2 e cos(t) são pares, isto é, satisfazem f(-t)=f(t). Para qualquer função par temos:
integral-a^a f(t),dt = 2 integral0^a f(t),dt
Aqui a=pi2.

Passo 4

Vamos calcular a parte polinomial usando essa simetria:
integral-pi2^pi2 8t^2 , dt = 2 integral0^pi2 8t^2 , dt = 2 [ 8t^33 ]0^pi2 = 2 times 83 times (pi2)^3 = 2pi^33

Passo 5

Agora calculamos a parte trigonométrica diretamente com a primitiva de cos(t):
integral-pi2^pi2 cos(t) , dt = [sin(t)]-pi2^pi2 = sin(pi2) - sin(-pi2) = 1 - (-1) = 2

Passo 6

Somando os dois resultados, a integral completa fica:
integral-pi2^pi2 l(8t^2 + cos(t)r) , dt = 2pi^33 + 2

Resposta

\frac{2\pi^3}{3} + 2

Exercícios relacionados