Considere o problema de minimizar a função
na curva
. Tente primeiro usar multiplicadores de Lagrange para resolver este problema. Depois, mostre que o valor mínimo é
, mas que a condição
não é satisfeita para nenhum valor de
. Explique por que os multiplicadores de Lagrange falham em encontrar o mínimo neste caso.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa minimizar a função $ f(x, y) = x $ sujeita à curva $ y^{2} + x^{2} - x^{3} = 0 $. Para isso, vamos usar os Multiplicadores de Lagrange, que são uma técnica de otimização para encontrar extremos de funções sujeitas a restrições. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam os Multiplicadores de Lagrange. Quando temos uma função para otimizar, $ f(x, y) $, sujeita a uma restrição $ g(x, y) = 0 $, a ideia é encontrar pontos onde o gradiente de $ f $ é paralelo ao gradiente de $ g $. Isso significa que existe um número $ \lambda $ tal que:
Nesse caso, nossa função é $ f(x, y) = x $ e a restrição é $ g(x, y) = y^{2} + x^{2} - x^{3} = 0 $.
Passo 3
Vamos calcular os gradientes de $ f $ e $ g $:
Passo 4
Aplicando a condição dos Multiplicadores de Lagrange:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos analisar a equação (2): $ 0 = \lambda (2y) $. Isso significa que ou $ \lambda = 0 $ ou $ y = 0 $.
- Se $ \lambda = 0 $: Da equação (1), teríamos $ 1 = 0 $, o que é impossível. Então, essa possibilidade não dá solução.
- Se $ y = 0 $: Vamos substituir $ y = 0 $ na equação de restrição (3):
Isso nos dá duas possibilidades: $ x = 0 $ ou $ x = 1 $.
Passo 6
Vamos verificar cada caso:
-
Quando $ x = 0 $:
- Substituindo na equação (1): $ 1 = \lambda (0 - 0) \implies 1 = 0 $, o que é impossível.
-
Quando $ x = 1 $:
- Substituindo na equação (1): $ 1 = \lambda (2 \cdot 1 - 3 \cdot 1^{2}) \implies 1 = \lambda (-1) \implies \lambda = -1 $.
- Então, temos o ponto $ (1, 0) $.
Passo 7
Até aqui, encontramos um ponto candidato para mínimo: $ (1, 0) $. Vamos avaliar $ f $ nesse ponto:
Agora, precisamos verificar se realmente esse é o mínimo. Observando a restrição $ y^{2} + x^{2} - x^{3} = 0 $, podemos notar que quando $ x = 0 $, $ y = 0 $, ou seja, o ponto $ (0, 0) $ também satisfaz a restrição.
Passo 8
Vamos avaliar $ f $ no ponto $ (0, 0) $:
Esse valor é menor que $ f(1, 0) = 1 $, então $ (0, 0) $ parece ser o mínimo da função na curva dada.
Passo 9
Agora, vamos verificar se a condição dos Multiplicadores de Lagrange é satisfeita em $ (0, 0) $:
A condição diria que $ (1, 0) = \lambda (0, 0) $, o que não é possível para nenhum valor de $ \lambda $.
Passo 10
Isso significa que, embora $ (0, 0) $ seja realmente o ponto de mínimo, os Multiplicadores de Lagrange não conseguiram identificar esse ponto porque o gradiente de $ g $ em $ (0, 0) $ é zero, e não há como satisfazer a condição $ \nabla f = \lambda \nabla g $.
Resposta
O valor mínimo da função é $ f(0, 0) = 0 $. No entanto, em $ (0, 0) $, a condição $ \nabla f = \lambda \nabla g $ não é satisfeita para nenhum valor de $ \lambda $, fazendo com que os Multiplicadores de Lagrange falhem em encontrar o mínimo neste caso.