Mostre que a curva dada em coordenadas polares por
r=11-cos theta2
é uma elipse. Determine os focos dessa elipse.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a curva dada pela equação polar $ r = \frac{1}{1 - \frac{\cos \theta}{2}} $ é uma elipse e para encontrar os seus focos. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter equações polares para cartesianas e conhecer as características das elipses.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a equação polar para coordenadas cartesianas. Sabemos que em coordenadas polares, $ r $ é a distância do ponto à origem e $ \theta $ é o ângulo em relação ao eixo positivo x. As relações de conversão são:
r
Também lembramos que $ r = \sqrt{x^2 + y^2} $.

Passo 3

Vamos substituir $ \cos \theta $ na equação original. Sabemos que $ \cos \theta = \frac{x}{r} $, então:
cos theta
Multiplicando ambos os lados por $ 1 - \frac{x}{2r} $:
cos theta = xr
Simplificando:
r = 11 - x2r

Passo 4

Agora, substituímos $ r $ por $ \sqrt{x^2 + y^2} $:
r
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
raizx^2 + y^2
Expandindo o lado direito:
raizx^2 + y^2 = 1 + x2

Passo 5

Vamos reorganizar a equação:
x^2 - x^24 - x + y^2 - 1 = 0
Simplificando os termos:
3x^24 - x + y^2 = 1
Para facilitar, multiplicamos todos os termos por 4:
3x^2 - 4x + 4y^2 = 4
Completando o quadrado para os termos de $ x $:
x
3(x^2 - 43x) + 4y^2 = 4
3(x^2 - 43x + 49) - 129 + 4y^2 = 4
3(x - 23)^2 + 4y^2 = 4 + 129
Dividindo todos os termos por $ \frac{20}{3} $:
3(x - 23)^2 + 4y^2 = 489 + 129 = 609 = 203
203

Passo 6

Reconhecemos a equação padrão de uma elipse:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Comparando com a nossa equação:
h = 23, k = 0, a^2 = 209 Rightarrow a = 2raiz53
b^2 = 53 Rightarrow b = raiz53

Passo 7

Para encontrar os focos de uma elipse, usamos a relação:
c^2 = a^2 - b^2
Calculando:
c^2 = 209 - 53 = 209 - 159 = 59 Rightarrow c = raiz53
Como a elipse está centrada em $ \left(\frac{2}{3}, 0\right) $ e o eixo maior está na direção do eixo x, os focos estarão em:
(23, 0)

Resposta

A curva é uma elipse com centro em $ \left(\frac{2}{3}, 0\right) $ e seus focos estão localizados em $ \left(\frac{2 + \sqrt{5}}{3}, 0\right) $ e $ \left(\frac{2 - \sqrt{5}}{3}, 0\right) $.

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