Mostre que a curva dada em coordenadas polares por
é uma elipse. Determine os focos dessa elipse.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a curva dada pela equação polar $ r = \frac{1}{1 - \frac{\cos \theta}{2}} $ é uma elipse e para encontrar os seus focos. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter equações polares para cartesianas e conhecer as características das elipses.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a equação polar para coordenadas cartesianas. Sabemos que em coordenadas polares, $ r $ é a distância do ponto à origem e $ \theta $ é o ângulo em relação ao eixo positivo x. As relações de conversão são:
Também lembramos que $ r = \sqrt{x^2 + y^2} $.
Passo 3
Vamos substituir $ \cos \theta $ na equação original. Sabemos que $ \cos \theta = \frac{x}{r} $, então:
Multiplicando ambos os lados por $ 1 - \frac{x}{2r} $:
Simplificando:
Passo 4
Agora, substituímos $ r $ por $ \sqrt{x^2 + y^2} $:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo o lado direito:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação:
Simplificando os termos:
Para facilitar, multiplicamos todos os termos por 4:
Completando o quadrado para os termos de $ x $:
Dividindo todos os termos por $ \frac{20}{3} $:
Passo 6
Reconhecemos a equação padrão de uma elipse:
Comparando com a nossa equação:
Passo 7
Para encontrar os focos de uma elipse, usamos a relação:
Calculando:
Como a elipse está centrada em $ \left(\frac{2}{3}, 0\right) $ e o eixo maior está na direção do eixo x, os focos estarão em:
Resposta
A curva é uma elipse com centro em $ \left(\frac{2}{3}, 0\right) $ e seus focos estão localizados em $ \left(\frac{2 + \sqrt{5}}{3}, 0\right) $ e $ \left(\frac{2 - \sqrt{5}}{3}, 0\right) $.