Calcule as integrais definidas abaixo.
integral-1^2 x^2 raizx^3+1 d x.

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver a integral definida integral-1^2 x^2 raizx^3+1 , dx. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais definidas. Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de substituição. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar. Observamos que temos x^3 + 1 dentro da raiz quadrada. Então, vamos definir:
u = x^3 + 1
Essa substituição vai nos ajudar a simplificar a expressão dentro da integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx. Calculando:
dudx = 3x^2
Isso significa que:
du = 3x^2 , dx
Queremos expressar x^2 , dx em termos de du, então dividimos ambos os lados por 3:
x^2 , dx = du3

Passo 4

Vamos substituir u e x^2 , dx na integral original:
integral-1^2 x^2 raizx^3+1 , dx = integralu(-1)^u(2) raizu cdot du3
Simplificando:
13 integralu(-1)^u(2) u^1/2 , du
Agora, precisamos ajustar os limites de integração de acordo com nossa substituição.

Passo 5

Vamos calcular os novos limites de integração usando u = x^3 + 1:
  • Para x = -1: u = (-1)^3 + 1 = -1 + 1 = 0
    - Para x = 2:
    u = 2^3 + 1 = 8 + 1 = 9
Então, nossos novos limites são de u = 0 a u = 9.

Passo 6

Agora, vamos integrar u^1/2:
13 integral0^9 u^1/2 , du = 13 cdot [ 23 u^3/2 ]0^9
Calculando:
29 [ u^3/2 ]0^9 = 29 ( 9^3/2 - 0^3/2 )
Sabemos que 9^3/2 = raiz9^3 = raiz729 = 27, então:
29 (27 - 0) = 549 = 6

Resposta

O valor da integral definida integral-1^2 x^2 raizx^3+1 , dx é 6.

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