Calcule as integrais definidas abaixo.
.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver a integral definida
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais definidas. Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de substituição. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir para simplificar. Observamos que temos
dentro da raiz quadrada. Então, vamos definir:
Essa substituição vai nos ajudar a simplificar a expressão dentro da integral.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
. Calculando:
Isso significa que:
Queremos expressar
em termos de
, então dividimos ambos os lados por 3:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Simplificando:
Agora, precisamos ajustar os limites de integração de acordo com nossa substituição.
Passo 5
Vamos calcular os novos limites de integração usando
:
- Para
:
- Para:
Então, nossos novos limites são de
a
.
Passo 6
Agora, vamos integrar
:
Calculando:
Sabemos que
, então:
Resposta
O valor da integral definida
é 6.