Calcule as integrais definidas e indefinidas:
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\operatorname{sen} x+\operatorname{sen} x \cdot \operatorname{tg}^{2} x}{\operatorname{sec} ^{2} x} d x (Sugestão: identidades trigonométricas)

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\operatorname{sen} x + \operatorname{sen} x \cdot \operatorname{tg}^{2} x}{\operatorname{sec}^{2} x}\,dx.
Informações dadas e o que será calculado:
  • A integral é definida com limites 0 e \frac{\pi}{3}.
  • O integrando é \dfrac{\operatorname{sen} x + \operatorname{sen} x\cdot \operatorname{tg}^{2} x}{\operatorname{sec}^{2} x}.
  • Vou também apresentar a primitiva (integral indefinida) correspondente, porque isso ajuda a entender o cálculo da integral definida.

Passo 2

Vamos simplificar o integrando usando identidades trigonométricas. Primeiro reconheça que podemos fatorar \operatorname{sen} x no numerador:
\frac{\operatorname{sen} x + \operatorname{sen} x\cdot \operatorname{tg}^{2} x}{\operatorname{sec}^{2} x} = \frac{\operatorname{sen} x\bigl(1+\operatorname{tg}^{2} x\bigr)}{\operatorname{sec}^{2} x}.
Agora a identidade fundamental que vamos usar é a identidade pitagórica transformada:
1+\operatorname{tg}^{2} x=\operatorname{sec}^{2} x.
Explicando essa identidade (de um jeito bem direto): partimos de \operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x=1. Dividindo ambos os lados por \cos^{2}x obtemos \tan^{2}x+1=\operatorname{sec}^{2}x. Aqui \operatorname{tg} x=\dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x} e \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}.

Passo 3

Substituindo 1+\operatorname{tg}^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x no integrando:
\frac{\operatorname{sen} x\bigl(1+\operatorname{tg}^{2} x\bigr)}{\operatorname{sec}^{2} x} = \frac{\operatorname{sen} x\cdot \operatorname{sec}^{2} x}{\operatorname{sec}^{2} x}.
Agora vemos a simplificação óbvia: \operatorname{sec}^{2} x cancela no numerador e no denominador, sobrando
\frac{\operatorname{sen} x\cdot \operatorname{sec}^{2} x}{\operatorname{sec}^{2} x}=\operatorname{sen} x.
Portanto a integral fica muito mais simples:
\int \frac{\operatorname{sen} x + \operatorname{sen} x\cdot \operatorname{tg}^{2} x}{\operatorname{sec}^{2} x}\,dx = \int \operatorname{sen} x\,dx.

Passo 4

Calculando a integral indefinida \displaystyle \int \operatorname{sen} x\,dx: sabemos que a derivada de \cos x é -\operatorname{sen} x. Portanto uma primitiva de \operatorname{sen} x é -\cos x. Assim
\int \operatorname{sen} x\,dx = -\cos x + C,
onde C é a constante de integração. (Dica prática para prova: quando ver \operatorname{sen} x pense logo em -\cos x.)

Passo 5

Agora usamos essa primitiva para calcular a integral definida de 0 até \dfrac{\pi}{3}. Aplicando o teorema fundamental do cálculo:
\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \operatorname{sen} x\,dx = \left[-\cos x\right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = -\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right) - \bigl(-\cos 0\bigr).
Sabendo que \cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2} e \cos 0=1, obtemos
-\frac{1}{2} - (-1) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \int \frac{\operatorname{sen} x + \operatorname{sen} x\cdot \operatorname{tg}^{2} x}{\operatorname{sec}^{2} x}\,dx = -\cos x + C
\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\operatorname{sen} x + \operatorname{sen} x\cdot \operatorname{tg}^{2} x}{\operatorname{sec}^{2} x}\,dx = \frac{1}{2}

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