Calcule as integrais definidas e indefinidas:
(Sugestão: identidades trigonométricas)
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral
Informações dadas e o que será calculado:
- A integral é definida com limites
e . - O integrando é
. - Vou também apresentar a primitiva (integral indefinida) correspondente, porque isso ajuda a entender o cálculo da integral definida.
Passo 2
Vamos simplificar o integrando usando identidades trigonométricas. Primeiro reconheça que podemos fatorar
no numerador:
Agora a identidade fundamental que vamos usar é a identidade pitagórica transformada:
Explicando essa identidade (de um jeito bem direto): partimos de
. Dividindo ambos os lados por
obtemos
. Aqui
e
.
Passo 3
Substituindo
no integrando:
Agora vemos a simplificação óbvia:
cancela no numerador e no denominador, sobrando
Portanto a integral fica muito mais simples:
Passo 4
Calculando a integral indefinida
: sabemos que a derivada de
é
. Portanto uma primitiva de
é
. Assim
onde
é a constante de integração. (Dica prática para prova: quando ver
pense logo em
.)
Passo 5
Agora usamos essa primitiva para calcular a integral definida de
até
. Aplicando o teorema fundamental do cálculo:
Sabendo que
e
, obtemos