Calcule as Integrais definidas
\int_{1}^{4} \frac{\left(2 x^{2}+13 x+18\right) d x}{x^{3}+6 x^{2}+9 x}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral definida
\int_{1}^{4}\frac{2x^{2}+13x+18}{x^{3}+6x^{2}+9x}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • O numerador é \,2x^{2}+13x+18\,.
  • O denominador é \,x^{3}+6x^{2}+9x\,.
  • O intervalo de integração é [\,1,4\,].
  • Importante notar se há singularidades do integrando no intervalo: os zeros do denominador podem gerar descontinuidades que precisam ser verificadas.

Passo 2

Verificação de singularidades e escolha do método.
  • Encontrar os zeros do denominador ajuda a saber se a integral é sobre uma função contínua no intervalo. Vamos fatorar o denominador (isso é apenas informação, a fatoração em si será usada no próximo passo).
  • Como o grau do numerador ( 2) é menor que o do denominador ( 3), a fração é própria, então o método de frações parciais é adequado: fatorar o denominador em fatores lineares (com multiplicidade se houver) e escrever a decomposição correspondente. Esse método permite integrar termo a termo usando primitivadas conhecidas (logaritmo e potências).

Passo 3

Fatoração do denominador e forma de frações parciais.
  • Fatorando o denominador:
x^{3}+6x^{2}+9x = x\bigl(x^{2}+6x+9\bigr) = x(x+3)^{2}.
  • Como há um fator linear simples \,x\, e um fator linear repetido \,(x+3)^{2}\,, a forma geral da decomposição em frações parciais é
\frac{2x^{2}+13x+18}{x(x+3)^{2}}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+3}+\frac{C}{(x+3)^{2}}.
Aqui A, B e C são constantes a determinar. Explicação do porquê: para cada fator linear (x-a) de multiplicidade m usa-se termos \frac{D_{1}}{x-a}+\frac{D_{2}}{(x-a)^{2}}+\dots+\frac{D_{m}}{(x-a)^{m}}.

Passo 4

Determinação das constantes A, B e C.
  • Igualando as duas expressões multiplicando ambos os lados por x(x+3)^{2}, obtemos a identidade polinomial
2x^{2}+13x+18 = A(x+3)^{2} + Bx(x+3) + Cx.
  • Usar valores convenientes de x para achar as constantes:
    • Tomando x=0:
    18 = A\cdot 3^{2} \quad\Rightarrow\quad 18 = 9A \quad\Rightarrow\quad A=2.
    • Tomando x=-3:
    2(-3)^{2}+13(-3)+18 = -3C.Calcular o lado esquerdo: 2\cdot9 -39 +18 = 18 -39 +18 = -3,então -3 = -3C e portanto C=1.
    • Para B usamos a equação dos coeficientes em x^{2} (ou subtraímos os termos com A e C):
      Da identidade, coletando coeficiente de x^{2} no lado direito dá A+B. Como no lado esquerdo o coeficiente de x^{2} é 2, tem-se
    A+B = 2 \quad\Rightarrow\quad 2 + B = 2 \quad\Rightarrow\quad B=0.
  • Conclusão:
A=2,\qquad B=0,\qquad C=1.

Passo 5

Reescrevendo o integrando e preparando a integração.
  • Substituindo as constantes na decomposição:
\frac{2x^{2}+13x+18}{x(x+3)^{2}}=\frac{2}{x}+\frac{0}{x+3}+\frac{1}{(x+3)^{2}}=\frac{2}{x}+\frac{1}{(x+3)^{2}}.
  • Integrar termo a termo. Lembrando as primitivas úteis:
    • Para \dfrac{2}{x} a primitiva é 2\ln|x|, pois \dfrac{d}{dx}\bigl(\ln|x|\bigr)=\dfrac{1}{x}.
    • Para \dfrac{1}{(x+3)^{2}}=\,(x+3)^{-2} a primitiva é -\dfrac{1}{x+3}, pois \dfrac{d}{dx}\bigl(-(x+3)^{-1}\bigr)=(x+3)^{-2} pela regra da potência.
  • Logo uma primitiva comum é
F(x)=2\ln|x|-\frac{1}{x+3}.

Passo 6

Avaliação da integral definida \int_{1}^{4}.
  • Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo: \displaystyle\int_{1}^{4} f(x)\,dx = F(4)-F(1).
  • Calcular F(4) e F(1):
    • F(4)=2\ln(4)-\dfrac{1}{4+3}=2\ln(4)-\dfrac{1}{7}.
    • F(1)=2\ln(1)-\dfrac{1}{1+3}=0-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{4}. Observação: \ln(1)=0.
  • Portanto
\int_{1}^{4}\frac{2x^{2}+13x+18}{x^{3}+6x^{2}+9x}\,dx = \Bigl(2\ln(4)-\frac{1}{7}\Bigr)-\Bigl(-\frac{1}{4}\Bigr) =2\ln(4)+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}.
  • Simplificando as frações:
\frac{1}{4}-\frac{1}{7}=\frac{7-4}{28}=\frac{3}{28}.
  • Opcional: escrever 2\ln(4)=4\ln(2) se preferir em termos de \ln 2.

Resposta

2\ln(4)+\frac{3}{28}

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