Calcule as Integrais definidas
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral definida
Informações relevantes fornecidas:
- O numerador é
. - O denominador é
. - O intervalo de integração é
. - Importante notar se há singularidades do integrando no intervalo: os zeros do denominador podem gerar descontinuidades que precisam ser verificadas.
Passo 2
Verificação de singularidades e escolha do método.
- Encontrar os zeros do denominador ajuda a saber se a integral é sobre uma função contínua no intervalo. Vamos fatorar o denominador (isso é apenas informação, a fatoração em si será usada no próximo passo).
- Como o grau do numerador (
) é menor que o do denominador ( ), a fração é própria, então o método de frações parciais é adequado: fatorar o denominador em fatores lineares (com multiplicidade se houver) e escrever a decomposição correspondente. Esse método permite integrar termo a termo usando primitivadas conhecidas (logaritmo e potências).
Passo 3
Fatoração do denominador e forma de frações parciais.
- Fatorando o denominador:
- Como há um fator linear simples
e um fator linear repetido , a forma geral da decomposição em frações parciais é
Aqui
,
e
são constantes a determinar. Explicação do porquê: para cada fator linear
de multiplicidade
usa-se termos
.
Passo 4
Determinação das constantes
,
e
.
- Igualando as duas expressões multiplicando ambos os lados por
, obtemos a identidade polinomial
- Usar valores convenientes de
para achar as constantes: - Tomando
:
- Tomando
:
Calcular o lado esquerdo: então e portanto . - Para
usamos a equação dos coeficientes em (ou subtraímos os termos com e ):
Da identidade, coletando coeficiente deno lado direito dá . Como no lado esquerdo o coeficiente de é , tem-se
- Tomando
- Conclusão:
Passo 5
Reescrevendo o integrando e preparando a integração.
- Substituindo as constantes na decomposição:
- Integrar termo a termo. Lembrando as primitivas úteis:
- Para
a primitiva é , pois . - Para
a primitiva é , pois pela regra da potência.
- Para
- Logo uma primitiva comum é
Passo 6
Avaliação da integral definida
.
- Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo:
. - Calcular
e : -
-
Observação: .
-
- Portanto
- Simplificando as frações:
- Opcional: escrever
se preferir em termos de .