Calcule as Integrais abaixo, se existir
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(x+e^{x}\right)}{3 x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\!\left(x+e^{x}\right)}{3x}.
Informações dadas: a expressão é uma função de x envolvendo \ln, x e e^{x}. O objetivo é encontrar o valor para x tendendo a +\infty.

Passo 2

Primeira ideia útil (propriedade do log): para quaisquer a>0 e b>0 vale \ln(ab)=\ln a+\ln b. Vou usar isso para separar a parte dominante \,e^{x}\, dentro do argumento do log. Escrevo:
\ln\!\left(x+e^{x}\right)=\ln\!\big(e^{x}\big(1+x e^{-x}\big)\big)=\ln\!\big(e^{x}\big)+\ln\!\big(1+x e^{-x}\big).
Como \ln\!\big(e^{x}\big)=x, obtemos
\ln\!\left(x+e^{x}\right)=x+\ln\!\big(1+x e^{-x}\big).

Passo 3

Substituo essa expressão no limite pedido:
\frac{\ln\!\left(x+e^{x}\right)}{3x}=\frac{x+\ln\!\big(1+x e^{-x}\big)}{3x} =\frac{x}{3x}+\frac{\ln\!\big(1+x e^{-x}\big)}{3x} =\frac{1}{3}+\frac{\ln\!\big(1+x e^{-x}\big)}{3x}.
Portanto basta mostrar que a segunda parcela
\frac{\ln\!\big(1+x e^{-x}\big)}{3x}
tende a 0 quando x\to+\infty.

Passo 4

Vamos estudar o comportamento de x e^{-x} quando x\to+\infty. Note que
x e^{-x}=\frac{x}{e^{x}}.
É um limite clássico que \dfrac{x}{e^{x}}\to0 quando x\to+\infty porque a exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio. Uma forma simples e rigorosa é aplicar a Regra de L’Hôpital:
\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{e^{x}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{e^{x}}=0.
Assim x e^{-x}\to0 quando x\to+\infty.

Passo 5

Agora uso uma desigualdade útil para \ln: para todo u>-1 vale \ln(1+u)\le u. (Justificação rápida: a função f(u)=\ln(1+u)-u tem derivada f'(u)=\dfrac{1}{1+u}-1=-\dfrac{u}{1+u}\le0 para u>-1, logo f é decrescente e f(0)=0, implicando f(u)\le0.) Como u=x e^{-x}\ge0 para x\ge0, segue
0\le \ln\!\big(1+x e^{-x}\big)\le x e^{-x}.
Dividindo a desigualdade por x>0 obtemos
0\le \frac{\ln\!\big(1+x e^{-x}\big)}{x}\le e^{-x}.
Como \lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0, pelo Teorema do Confronto concluímos
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\!\big(1+x e^{-x}\big)}{x}=0.
Portanto
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\!\big(1+x e^{-x}\big)}{3x}=0.

Passo 6

Voltando à decomposição do Passo 3, temos
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\!\left(x+e^{x}\right)}{3x} =\frac{1}{3}+\underbrace{\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\!\big(1+x e^{-x}\big)}{3x}}_{=0} =\frac{1}{3}.

Resposta

\dfrac{1}{3}

Exercícios relacionados