Calcule as Integrais abaixo, se existir
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas: a expressão é uma função de
envolvendo
,
e
. O objetivo é encontrar o valor para
tendendo a
.
Passo 2
Primeira ideia útil (propriedade do log): para quaisquer
e
vale
. Vou usar isso para separar a parte dominante
dentro do argumento do log. Escrevo:
Como
, obtemos
Passo 3
Substituo essa expressão no limite pedido:
Portanto basta mostrar que a segunda parcela
tende a
quando
.
Passo 4
Vamos estudar o comportamento de
quando
. Note que
É um limite clássico que
quando
porque a exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio. Uma forma simples e rigorosa é aplicar a Regra de L’Hôpital:
Assim
quando
.
Passo 5
Agora uso uma desigualdade útil para
: para todo
vale
. (Justificação rápida: a função
tem derivada
para
, logo
é decrescente e
, implicando
.) Como
para
, segue
Dividindo a desigualdade por
obtemos
Como
, pelo Teorema do Confronto concluímos
Portanto
Passo 6
Voltando à decomposição do Passo 3, temos