Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a
17. \int_{1}^{+\infty} \ln x d x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
\int_{1}^{+\infty} \ln x\,dx
é convergente ou divergente. Se for convergente, também pede para calculá-la.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função integranda é \ln x.
  • Em x=1 temos \ln 1=0, portanto não há singularidade no limite inferior.
  • A impropriedade vem do limite superior infinito ( +\infty).
  • Logo, tratamos a integral como um limite de integrais próprias:
    a integral é definida como \displaystyle\lim_{A\to+\infty}\int_{1}^{A}\ln x\,dx.

Passo 2

Definição prática da integral imprópria: escreveremos
\int_{1}^{+\infty} \ln x\,dx=\lim_{A\to+\infty}\int_{1}^{A}\ln x\,dx.
Vamos primeiro calcular a integral indefinida \int \ln x\,dx. Para isso usamos a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.

Passo 3

Escolha das funções para integração por partes:
  • Tome u=\ln x. Então du=\dfrac{1}{x}\,dx.
  • Tome dv=dx. Então v=x.
Aplicando a fórmula:
\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx.
Portanto a primitiva é
\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C.

Passo 4

Avaliar a integral própria de 1 a A:
\int_{1}^{A}\ln x\,dx = \left[x\ln x - x\right]_{1}^{A} = \bigl(A\ln A - A\bigr) - \bigl(1\cdot\ln 1 - 1\bigr).
Como \ln 1=0, isso fica
\int_{1}^{A}\ln x\,dx = A\ln A - A + 1.

Passo 5

Estudar o limite quando A\to+\infty. Temos que analisar
\lim_{A\to+\infty}\bigl(A\ln A - A + 1\bigr).
Uma forma simples e direta de ver que isso diverge é usar comparação: para x\ge e vale \ln x\ge 1. Assim, para qualquer A\ge e,
\int_{e}^{A}\ln x\,dx \ge \int_{e}^{A}1\,dx = A - e.
Como \lim_{A\to+\infty}(A-e)=+\infty, segue que \int_{e}^{+\infty}\ln x\,dx = +\infty. Portanto a integral sobre [1,+\infty) também diverge para +\infty (já que \int_{1}^{+\infty}\ln x\,dx \ge \int_{e}^{+\infty}\ln x\,dx).
Também se observa diretamente que A\ln A cresce sem limite quando A\to+\infty, então A\ln A - A +1\to+\infty.

Passo 6

Conclusão: a integral imprópria não é convergente; ela diverge e seu valor tende a +\infty. Mantém-se a explicação simples: a área sob \ln x a partir de um ponto grande é pelo menos a área de uma faixa de largura infinita com altura positiva, logo dá infinito.

Resposta

Divergente (tende a +\infty).

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