Determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a
17.
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Passo 1
O enunciado pede para determinar se a integral imprópria
é convergente ou divergente. Se for convergente, também pede para calculá-la.
Informações dadas e observações iniciais:
- A função integranda é
. - Em
temos , portanto não há singularidade no limite inferior. - A impropriedade vem do limite superior infinito (
). - Logo, tratamos a integral como um limite de integrais próprias:
a integral é definida como.
Passo 2
Definição prática da integral imprópria: escreveremos
Vamos primeiro calcular a integral indefinida
. Para isso usamos a fórmula de integração por partes:
Passo 3
Escolha das funções para integração por partes:
- Tome
. Então . - Tome
. Então .
Aplicando a fórmula:
Portanto a primitiva é
Passo 4
Avaliar a integral própria de
a
:
Como
, isso fica
Passo 5
Estudar o limite quando
. Temos que analisar
Uma forma simples e direta de ver que isso diverge é usar comparação: para
vale
. Assim, para qualquer
,
Como
, segue que
. Portanto a integral sobre
também diverge para
(já que
).
Também se observa diretamente que
cresce sem limite quando
, então
.
Passo 6
Conclusão: a integral imprópria não é convergente; ela diverge e seu valor tende a
. Mantém-se a explicação simples: a área sob
a partir de um ponto grande é pelo menos a área de uma faixa de largura infinita com altura positiva, logo dá infinito.
Resposta
Divergente (tende a
).