Calcule as integrais definidas:
\int_{1}^{e} \frac{\operatorname{sen}(\ln x) \cos (\ln x)}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{e} \frac{\operatorname{sen}(\ln x)\cos(\ln x)}{x}\,dx.
Informações e o que será necessário usar:
  • A função integranda contém \ln x e um fator 1/x, o que sugere uma substituição do tipo t=\ln x porque \,d(\ln x)=\dfrac{dx}{x}.
  • Também é útil usar uma identidade trigonométrica para simplificar \operatorname{sen}(\ln x)\cos(\ln x).
  • Vou transformar a integral em uma integral mais simples em termos de t, calcular a primitiva e avaliar nos novos limites.

Passo 2

Fazer a substituição de variável. Defino
t=\ln x.
Derivando ambos os lados obtemos
dt=\frac{dx}{x}\quad\text{ou seja}\quad dx=\;x\,dt,
mas, como aparece \dfrac{dx}{x} na integral, podemos usar diretamente dt=\dfrac{dx}{x}.
Mudar os limites da integral: quando x=1 temos t=\ln 1=0; quando x=e temos t=\ln e=1.
Portanto a integral em x transforma-se em integral em t:
\int_{1}^{e} \frac{\operatorname{sen}(\ln x)\cos(\ln x)}{x}\,dx = \int_{0}^{1} \operatorname{sen}(t)\cos(t)\,dt.

Passo 3

Simplificar a integranda usando identidade trigonométrica. A identidade que junta produto de seno e cosseno é
\operatorname{sen}(t)\cos(t)=\frac{1}{2}\operatorname{sen}(2t).
Explicando por que: \operatorname{sen}(2t)=2\operatorname{sen}(t)\cos(t), logo dividindo por 2 chega-se à forma usada.
Substituindo na integral obtemos
\int_{0}^{1} \operatorname{sen}(t)\cos(t)\,dt = \int_{0}^{1} \frac{1}{2}\operatorname{sen}(2t)\,dt = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(2t)\,dt.

Passo 4

Calcular a integral de \operatorname{sen}(2t). Uma primitiva de \operatorname{sen}(2t) é -\dfrac{1}{2}\cos(2t), porque ao derivar -\dfrac{1}{2}\cos(2t) obtém-se -\dfrac{1}{2}\cdot(-2)\sin(2t)=\sin(2t).
Assim,
\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(2t)\,dt = \frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}\cos(2t)\right]_{0}^{1} = -\frac{1}{4}\big(\cos(2\cdot 1)-\cos(2\cdot 0)\big).
Agora avaliar os cossenos: \cos(2\cdot 0)=\cos(0)=1. Portanto
-\frac{1}{4}\big(\cos(2)-1\big) = \frac{1}{4}\big(1-\cos(2)\big).

Resposta

\dfrac{1-\cos(2)}{4}

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