Calcule as integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações e o que será necessário usar:
- A função integranda contém
e um fator , o que sugere uma substituição do tipo porque . - Também é útil usar uma identidade trigonométrica para simplificar
. - Vou transformar a integral em uma integral mais simples em termos de
, calcular a primitiva e avaliar nos novos limites.
Passo 2
Fazer a substituição de variável. Defino
Derivando ambos os lados obtemos
mas, como aparece
na integral, podemos usar diretamente
.
Mudar os limites da integral: quando
temos
; quando
temos
.
Portanto a integral em
transforma-se em integral em
:
Passo 3
Simplificar a integranda usando identidade trigonométrica. A identidade que junta produto de seno e cosseno é
Explicando por que:
, logo dividindo por
chega-se à forma usada.
Substituindo na integral obtemos
Passo 4
Calcular a integral de
. Uma primitiva de
é
, porque ao derivar
obtém-se
.
Assim,
Agora avaliar os cossenos:
. Portanto