Calcule as integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações e observações importantes dadas pelo enunciado:
- O integrando é
. - O intervalo de integração é de
até . - Há uma raiz quadrada de
no argumento das funções trigonométricas e também no denominador; isso sugere uma substituição que simplifique .
Passo 2
Vamos fazer a substituição que simplifica a presença de
. Defina
Isso implica
. Derivando, obtemos a relação entre diferenciais:
Também transformamos os limites de integração: quando
temos
; quando
temos
.
Passo 3
Substituímos tudo na integral. O integrando original é
Em termos de
isso vira
Cancelando
no numerador e denominador,
Portanto a integral torna-se
Observação didática: a aparente singularidade em
desaparece porque o
do
cancela o
; isso mostra que a integral é bem comportada no extremo esquerdo.
Passo 4
Usamos a identidade trigonométrica básica
Assim a integral simplifica-se para
Passo 5
Calcule a primitiva de
. Sabendo que a derivada de
é
, obtemos a antiderivada
Agora aplicamos os limites
e
:
Portanto o valor é
Passo 6
Podemos simplificar ainda usando a identidade
com
. Assim
Ambas as formas são corretas e equivalentes.