Calcule as integrais definidas:
\int_{0}^{1} \frac{\operatorname{sen}(\sqrt{x}) \cos (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \frac{\operatorname{sen}(\sqrt{x}) \cos (\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\,dx.
Informações e observações importantes dadas pelo enunciado:
  • O integrando é \dfrac{\operatorname{sen}(\sqrt{x})\cos(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}.
  • O intervalo de integração é de x=0 até x=1.
  • Há uma raiz quadrada de x no argumento das funções trigonométricas e também no denominador; isso sugere uma substituição que simplifique \sqrt{x}.

Passo 2

Vamos fazer a substituição que simplifica a presença de \sqrt{x}. Defina
u=\sqrt{x}.
Isso implica x=u^2. Derivando, obtemos a relação entre diferenciais:
dx=2u\,du.
Também transformamos os limites de integração: quando x=0 temos u=0; quando x=1 temos u=1.

Passo 3

Substituímos tudo na integral. O integrando original é
\frac{\operatorname{sen}(\sqrt{x})\cos(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\,dx.
Em termos de u isso vira
\frac{\operatorname{sen}(u)\cos(u)}{u}\cdot (2u\,du).
Cancelando u no numerador e denominador,
\frac{\operatorname{sen}(u)\cos(u)}{u}\cdot (2u\,du)=2\operatorname{sen}(u)\cos(u)\,du.
Portanto a integral torna-se
\int_{0}^{1}2\operatorname{sen}(u)\cos(u)\,du.
Observação didática: a aparente singularidade em x=0 desaparece porque o u do dx cancela o 1/\sqrt{x}; isso mostra que a integral é bem comportada no extremo esquerdo.

Passo 4

Usamos a identidade trigonométrica básica
2\operatorname{sen}(u)\cos(u)=\operatorname{sen}(2u).
Assim a integral simplifica-se para
\int_{0}^{1}\operatorname{sen}(2u)\,du.

Passo 5

Calcule a primitiva de \operatorname{sen}(2u). Sabendo que a derivada de \cos(2u) é -2\operatorname{sen}(2u), obtemos a antiderivada
\int \operatorname{sen}(2u)\,du = -\tfrac{1}{2}\cos(2u)+C.
Agora aplicamos os limites u=0 e u=1:
\left[-\tfrac{1}{2}\cos(2u)\right]_{0}^{1} = -\tfrac{1}{2}\cos(2) -\bigl(-\tfrac{1}{2}\cos(0)\bigr) = -\tfrac{1}{2}\cos(2) + \tfrac{1}{2}\cdot 1.
Portanto o valor é
\tfrac{1-\cos(2)}{2}.

Passo 6

Podemos simplificar ainda usando a identidade \,1-\cos(2\theta)=2\operatorname{sen}^2(\theta)\, com \theta=1. Assim
\tfrac{1-\cos(2)}{2}=\operatorname{sen}^2(1).
Ambas as formas são corretas e equivalentes.

Resposta

\operatorname{sen}^2(1)

Exercícios relacionados