Calcule as integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O intervalo de integração é de
até . - A função integranda é
, produto de um polinômio ( ) por uma exponencial ( ).
Passo 2
Método que vamos usar: integração por partes. Vou explicar a fórmula antes de aplicar.
Fórmula de integração por partes: para duas funções diferenciáveis
e
,
Aqui:
-
é uma função que escolhemos (geralmente escolhe-se algo que simplifique quando derivado, como um polinômio). -
é o resto do integrando, e integra-se para obter . -
é a derivada de multiplicada por .
Dica prática (regra LIATE simples): quando o integrando é produto de polinômio e exponencial, escolha
o polinômio e
a exponencial, porque a derivada do polinômio reduz o grau.
Passo 3
Aplicando integração por partes à nossa integral:
Escolhemos
Escolhemos
Então
Pela fórmula,
Avaliaremos o termo de fronteira e a nova integral separadamente:
Portanto, deixando a nova integral em evidência,
Passo 4
Agora calculamos a integral restante
Novamente usamos integração por partes. Escolhemos
de modo que
Pela fórmula,
Calculando cada termo:
e
Logo
Passo 5
Voltando à expressão obtida no Passo 3:
Como
, temos