Calcule as integrais definidas:
\int_{0}^{1} x^{2} e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} x^{2} e^{x}\,dx.
Informações dadas:
  • O intervalo de integração é de 0 até 1.
  • A função integranda é x^{2} e^{x}, produto de um polinômio ( x^{2}) por uma exponencial ( e^{x}).

Passo 2

Método que vamos usar: integração por partes. Vou explicar a fórmula antes de aplicar.
Fórmula de integração por partes: para duas funções diferenciáveis u(x) e v(x),
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função que escolhemos (geralmente escolhe-se algo que simplifique quando derivado, como um polinômio).
  • dv é o resto do integrando, e integra-se para obter v.
  • du é a derivada de u multiplicada por dx.
Dica prática (regra LIATE simples): quando o integrando é produto de polinômio e exponencial, escolha u o polinômio e dv a exponencial, porque a derivada do polinômio reduz o grau.

Passo 3

Aplicando integração por partes à nossa integral:
Escolhemos
u = x^{2},\qquad dv = e^{x}\,dx.
Então
du = 2x\,dx,\qquad v = e^{x}.
Pela fórmula,
\int_{0}^{1} x^{2} e^{x}\,dx = \Big[ x^{2} e^{x} \Big]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x}\,(2x)\,dx.
Avaliaremos o termo de fronteira e a nova integral separadamente:
\Big[ x^{2} e^{x} \Big]_{0}^{1} = 1^{2} e^{1} - 0^{2} e^{0} = e.
Portanto, deixando a nova integral em evidência,
\int_{0}^{1} x^{2} e^{x}\,dx = e - 2\int_{0}^{1} x e^{x}\,dx.

Passo 4

Agora calculamos a integral restante
J=\int_{0}^{1} x e^{x}\,dx.
Novamente usamos integração por partes. Escolhemos
u = x,\qquad dv = e^{x}\,dx,
de modo que
du = dx,\qquad v = e^{x}.
Pela fórmula,
J = \Big[ x e^{x} \Big]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x}\,dx.
Calculando cada termo:
\Big[ x e^{x} \Big]_{0}^{1} = 1\cdot e^{1} - 0\cdot e^{0} = e,
e
\int_{0}^{1} e^{x}\,dx = \Big[ e^{x} \Big]_{0}^{1} = e - 1.
Logo
J = e - (e - 1) = 1.

Passo 5

Voltando à expressão obtida no Passo 3:
\int_{0}^{1} x^{2} e^{x}\,dx = e - 2J.
Como J=1, temos
\int_{0}^{1} x^{2} e^{x}\,dx = e - 2.

Resposta

e - 2

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