Calcule as integrais definidas
int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos x}{\pi} dx

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral definida
\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos x}{\pi}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \frac{\cos x}{\pi}.
  • O intervalo de integração é [-\pi,\pi].
  • Queremos o valor numérico dessa integral (um número real).

Passo 2

Regra útil: a integral é linear e constantes podem sair da integral. Isso significa que, para qualquer constante c e função f,
\int_a^b c\,f(x)\,dx = c\int_a^b f(x)\,dx.
Aqui podemos tirar \frac{1}{\pi} para fora:
\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\cos x}{\pi}\,dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \cos x\,dx.

Passo 3

Método direto: usar uma antiderivada de \cos x.
Fato básico (lembrete): a derivada de \sin x é \cos x. Portanto uma antiderivada de \cos x é \sin x. Em notação:
\frac{d}{dx}\sin x = \cos x \quad\Rightarrow\quad \int \cos x\,dx = \sin x + C.
Também usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se F é antiderivada de f, então
\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso:
\int_{-\pi}^{\pi} \cos x\,dx = \sin x\Big|_{-\pi}^{\pi} = \sin(\pi)-\sin(-\pi).
Calculemos os senos: \sin(\pi)=0 e \sin(-\pi)=0. Logo
\int_{-\pi}^{\pi} \cos x\,dx = 0-0=0.

Passo 5

Voltando ao fator \frac{1}{\pi}:
\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \cos x\,dx = \frac{1}{\pi}\cdot 0 = 0.
Observação alternativa (intuitiva): \cos x é função par (simétrica em relação ao eixo y), mas neste intervalo específico a área positiva e negativa se cancelam e a integral dá zero — o cálculo acima mostra isso explicitamente.

Resposta

0

Exercícios relacionados