Calcule as integrais definidas
int_{1}^{2}(3 x+2)^{2} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2} (3x+2)^{2}\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando: }(3x+2)^{2},\qquad \text{intervalo de integração: }x\in[1,2].çã
Não há outras condições extras no enunciado.

Passo 2

Escolha do método: temos duas abordagens naturais aqui — expandir o quadrado e integrar termo a termo, ou usar substituição linear u=3x+2. Vou escolher expandir e integrar termo a termo porque é direto (somar polinômios e aplicar a regra de potência para cada termo é simples e rápido na prova). Mais abaixo mostro também a substituição como verificação.
Antes de partir para os cálculos, vamos recordar a regra essencial que vamos usar: a regra de potência para integração e linearidade.
  • Regra de potência: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração (em integral definida usaremos a primitiva sem C).
  • Linearidade: para constantes a,b e funções f,g,
\int (a f(x)+ b g(x))\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
Também usamos \int c\,dx = c x para constante c.

Passo 3

Expandir o integrando usando (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}. Com a=3x e b=2,
(3x+2)^{2} = (3x)^{2} + 2\cdot(3x)\cdot 2 + 2^{2} = 9x^{2} + 12x + 4.

Passo 4

Substituímos na integral e usamos linearidade para separá-la:
\int_{1}^{2} (3x+2)^{2}\,dx = \int_{1}^{2} (9x^{2} + 12x + 4)\,dx = \int_{1}^{2} 9x^{2}\,dx + \int_{1}^{2} 12x\,dx + \int_{1}^{2} 4\,dx.

Passo 5

Aplicamos a regra de potência e a fórmula para constante:
  • Para \int 9x^{2}\,dx: factor 9 sai da integral e \int x^{2}\,dx = x^{3}/3. Logo a primitiva é
9\cdot\frac{x^{3}}{3}=3x^{3}.
  • Para \int 12x\,dx: factor 12 sai e \int x\,dx = x^{2}/2. Primitiva:
12\cdot\frac{x^{2}}{2}=6x^{2}.
  • Para \int 4\,dx: \int 4\,dx = 4x.
Portanto uma primitiva (antiderivada) conjunta é
F(x)=3x^{3}+6x^{2}+4x.

Passo 6

Agora avaliamos a primitiva nos limites 1 e 2 e subtraímos:
  • Calcular F(2):
F(2)=3\cdot 2^{3} + 6\cdot 2^{2} + 4\cdot 2 = 3\cdot 8 + 6\cdot 4 + 8 = 24 + 24 + 8 = 56.
  • Calcular F(1):
F(1)=3\cdot 1^{3} + 6\cdot 1^{2} + 4\cdot 1 = 3 + 6 + 4 = 13.
  • Diferença:
\int_{1}^{2} (3x+2)^{2}\,dx = F(2)-F(1) = 56 - 13 = 43.

Passo 7

Verificação rápida pelo método da substituição (opcional, só para confirmar):
  • Faça u=3x+2. Então du=3\,dx, isto é, dx=\dfrac{du}{3}.
  • Mudança dos limites: quando x=1, u=3\cdot 1+2=5. Quando x=2, u=3\cdot 2+2=8.
  • A integral vira
\int_{1}^{2} (3x+2)^{2}\,dx = \int_{5}^{8} u^{2}\cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int_{5}^{8} u^{2}\,du.
  • Integrando: \int u^{2}\,du = u^{3}/3, então
\frac{1}{3}\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{5}^{8} = \frac{1}{9}\bigl(8^{3}-5^{3}\bigr)=\frac{1}{9}(512-125)=\frac{387}{9}=43.
Confirmação: resultado igual a 43.

Resposta

43

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