Calcule as integrais definidas
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
Não há outras condições extras no enunciado.
Passo 2
Escolha do método: temos duas abordagens naturais aqui — expandir o quadrado e integrar termo a termo, ou usar substituição linear
. Vou escolher expandir e integrar termo a termo porque é direto (somar polinômios e aplicar a regra de potência para cada termo é simples e rápido na prova). Mais abaixo mostro também a substituição como verificação.
Antes de partir para os cálculos, vamos recordar a regra essencial que vamos usar: a regra de potência para integração e linearidade.
- Regra de potência: para
,
onde
é a constante de integração (em integral definida usaremos a primitiva sem
).
- Linearidade: para constantes
e funções ,
Também usamos
para constante
.
Passo 3
Expandir o integrando usando
. Com
e
,
Passo 4
Substituímos na integral e usamos linearidade para separá-la:
Passo 5
Aplicamos a regra de potência e a fórmula para constante:
- Para
: factor sai da integral e . Logo a primitiva é
- Para
: factor sai e . Primitiva:
- Para
: .
Portanto uma primitiva (antiderivada) conjunta é
Passo 6
Agora avaliamos a primitiva nos limites
e
e subtraímos:
- Calcular
:
- Calcular
:
- Diferença:
Passo 7
Verificação rápida pelo método da substituição (opcional, só para confirmar):
- Faça
. Então , isto é, . - Mudança dos limites: quando
, . Quando , . - A integral vira
- Integrando:
, então
Confirmação: resultado igual a
.