Calcule as integrais definidas
int_{-\pi}^{\pi} 2 \operatorname{sen} x dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-\pi}^{\pi} 2\operatorname{sen} x\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \;2\operatorname{sen} x\;.
  • O intervalo de integração é simétrico em torno da origem: [-\pi,\pi].

Passo 2

Vamos usar uma propriedade de funções ímpares. Primeiro, defino o que é função ímpar: uma função f é ímpar se, para todo x, vale
f(-x) = -f(x).
Agora mostro que \operatorname{sen} (seno) é ímpar:
\operatorname{sen}(-x) = -\operatorname{sen} x.
Multiplicando por 2, a função \;g(x)=2\operatorname{sen} x\; também satisfaz
g(-x)=2\operatorname{sen}(-x)=2(-\operatorname{sen} x)=-2\operatorname{sen} x=-g(x),
logo g é ímpar.

Passo 3

Propriedade útil (demonstração curta): se f é ímpar e integrável em [-a,a], então
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0.
Demonstração por mudança de variável: escrevemos
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = \int_{-a}^{0} f(x)\,dx + \int_{0}^{a} f(x)\,dx.
Na primeira integral fazemos a substituição u=-x. Então quando x=-a temos u=a e quando x=0 temos u=0; além disso du=-dx. Portanto
\int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_{a}^{0} f(-u)(-du) = \int_{0}^{a} f(-u)\,du.
Como f é ímpar, f(-u)=-f(u), então
\int_{-a}^{0} f(x)\,dx = \int_{0}^{a} -f(u)\,du = -\int_{0}^{a} f(u)\,du.
Somando as duas parcelas obtemos zero:
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = -\int_{0}^{a} f(u)\,du + \int_{0}^{a} f(x)\,dx = 0.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao nosso caso: como 2\operatorname{sen} x é função ímpar e o intervalo [-\pi,\pi] é simétrico, então
\int_{-\pi}^{\pi} 2\operatorname{sen} x\,dx = 0.
Essa é a forma mais rápida na prova.

Passo 5

Para aprendizado completo, vamos também calcular pela primitiva (Teorema Fundamental do Cálculo) passo a passo. Primeiro, encontramos uma primitiva de 2\operatorname{sen} x. Sabemos que
\frac{d}{dx}\cos x = -\operatorname{sen} x,
portanto
\frac{d}{dx}(-2\cos x) = -2\cdot(-\operatorname{sen} x)=2\operatorname{sen} x.
Logo uma primitiva é -2\cos x.

Passo 6

Agora avaliamos a primitiva nos limites:
\int_{-\pi}^{\pi} 2\operatorname{sen} x\,dx = \big[-2\cos x\big]_{-\pi}^{\pi} = -2\cos(\pi) - \big(-2\cos(-\pi)\big).
Sabendo que \cos(\pi)=\cos(-\pi)=-1, obtemos
-2(-1) - \big(-2(-1)\big) = 2 - 2 = 0.

Resposta

0

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