Calcule as integrais definidas
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração é simétrico em torno da origem:
.
Passo 2
Vamos usar uma propriedade de funções ímpares. Primeiro, defino o que é função ímpar: uma função
é ímpar se, para todo
, vale
Agora mostro que
(seno) é ímpar:
Multiplicando por
, a função
também satisfaz
logo
é ímpar.
Passo 3
Propriedade útil (demonstração curta): se
é ímpar e integrável em
, então
Demonstração por mudança de variável: escrevemos
Na primeira integral fazemos a substituição
. Então quando
temos
e quando
temos
; além disso
. Portanto
Como
é ímpar,
, então
Somando as duas parcelas obtemos zero:
Passo 4
Aplicando a propriedade ao nosso caso: como
é função ímpar e o intervalo
é simétrico, então
Essa é a forma mais rápida na prova.
Passo 5
Para aprendizado completo, vamos também calcular pela primitiva (Teorema Fundamental do Cálculo) passo a passo. Primeiro, encontramos uma primitiva de
. Sabemos que
portanto
Logo uma primitiva é
.
Passo 6
Agora avaliamos a primitiva nos limites:
Sabendo que
, obtemos