Calcule as integrais definidas
int_{1}^{2}(x-1)(x-2) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{1}^{2}(x-1)(x-2)\,dx.
Informações dadas: o integrando é o produto (x-1)(x-2) e o intervalo de integração é de x=1 até x=2. Não há outras condições.

Passo 2

Primeiro passo prático: simplificar o integrando expandindo o produto para trabalhar com polinômio, que é mais fácil de integrar. Calculemos a expansão:
(x-1)(x-2)=x\cdot x -2x -1\cdot x +2 = x^{2}-3x+2.

Passo 3

Agora vou usar regras básicas de integração — explicando bem devagar:
Regra da linearidade (soma e fator constante): para funções f e g e constante c,
\int (f+g)\,dx = \int f\,dx + \int g\,dx,
\int c\cdot f\,dx = c\int f\,dx.
Regra da potência (power rule): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui x é a variável de integração, n é o expoente. Essa regra nos diz como integrar qualquer potência inteira não igual a -1.
Escolhi esse método (expandir e integrar termo a termo) porque o integrando é um polinômio — é o jeito mais direto e usa só as regras acima, que são as mais básicas e rápidas numa prova.

Passo 4

Aplicando as regras termo a termo ao polinômio x^{2}-3x+2, encontramos uma primitiva F(x):
\int (x^{2}-3x+2)\,dx = \int x^{2}\,dx -3\int x\,dx +2\int 1\,dx.
Usando a regra da potência:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3},\quad \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\quad \int 1\,dx = x.
Portanto
F(x)=\frac{x^{3}}{3} -3\cdot\frac{x^{2}}{2} +2x = \frac{x^{3}}{3} -\frac{3x^{2}}{2} +2x.

Passo 5

Para calcular a integral definida usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se F é uma primitiva de f, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui a=1, b=2 e F é a primitiva encontrada no passo anterior.

Passo 6

Calcule F(2). Substituindo x=2 em F(x):
F(2)=\frac{2^{3}}{3} -\frac{3\cdot 2^{2}}{2} +2\cdot 2.
Agora as contas passo a passo:
\frac{2^{3}}{3}=\frac{8}{3},\quad \frac{3\cdot 2^{2}}{2}=\frac{3\cdot 4}{2}=\frac{12}{2}=6,\quad 2\cdot 2=4.
Então
F(2)=\frac{8}{3}-6+4=\frac{8}{3}-2=\frac{8-6}{3}=\frac{2}{3}.

Passo 7

Calcule F(1). Substituindo x=1:
F(1)=\frac{1^{3}}{3} -\frac{3\cdot 1^{2}}{2} +2\cdot 1 = \frac{1}{3} -\frac{3}{2} +2.
Fazendo com denominador comum 6:
\frac{1}{3}=\frac{2}{6},\quad -\frac{3}{2}=-\frac{9}{6},\quad 2=\frac{12}{6}.
Somando:
F(1)=\frac{2-9+12}{6}=\frac{5}{6}.

Passo 8

Agora a integral definida é
\int_{1}^{2}(x-1)(x-2)\,dx = F(2)-F(1)=\frac{2}{3}-\frac{5}{6}.
Colocando em denominador comum 6:
\frac{2}{3}=\frac{4}{6},\quad \frac{4}{6}-\frac{5}{6}=-\frac{1}{6}.
Interpretação rápida: o integrando é zero em x=1 e x=2 e negativo dentro do intervalo (por exemplo, em x=1{,}5 vale (0{,}5)(-0{,}5)=-0{,}25), então esperamos uma área algébrica negativa — e o resultado confirma isso.

Resposta

-\dfrac{1}{6}

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