Calcule as integrais definidas
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações dadas: o integrando é o produto
e o intervalo de integração é de
até
. Não há outras condições.
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar o integrando expandindo o produto para trabalhar com polinômio, que é mais fácil de integrar. Calculemos a expansão:
Passo 3
Agora vou usar regras básicas de integração — explicando bem devagar:
Regra da linearidade (soma e fator constante): para funções
e
e constante
,
Regra da potência (power rule): para
,
Aqui
é a variável de integração,
é o expoente. Essa regra nos diz como integrar qualquer potência inteira não igual a
.
Escolhi esse método (expandir e integrar termo a termo) porque o integrando é um polinômio — é o jeito mais direto e usa só as regras acima, que são as mais básicas e rápidas numa prova.
Passo 4
Aplicando as regras termo a termo ao polinômio
, encontramos uma primitiva
:
Usando a regra da potência:
Portanto
Passo 5
Para calcular a integral definida usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se
é uma primitiva de
, então
Aqui
,
e
é a primitiva encontrada no passo anterior.
Passo 6
Calcule
. Substituindo
em
:
Agora as contas passo a passo:
Então
Passo 7
Calcule
. Substituindo
:
Fazendo com denominador comum
:
Somando:
Passo 8
Agora a integral definida é
Colocando em denominador comum
:
Interpretação rápida: o integrando é zero em
e
e negativo dentro do intervalo (por exemplo, em
vale
), então esperamos uma área algébrica negativa — e o resultado confirma isso.