Calcule as integrais definidas
int_{1}^{2}(6 x-1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida \displaystyle \int_{1}^{2} (6x-1)\,dx.\n\nInformações dadas:\n- A função integranda é \,6x-1\,.\n- Os limites de integração são \,x=1\, (inferior) e \,x=2\, (superior).\n\nPergunta: qual é o valor numérico da integral definida \displaystyle \int_{1}^{2} (6x-1)\,dx?

Passo 2

Primeira ideia (propriedade da linearidade): a integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes saem da integral. Ou seja,
\int (6x-1)\,dx = \int 6x\,dx - \int 1\,dx.
Essa propriedade nos permite tratar cada termo separadamente, o que simplifica bastante.

Passo 3

Regra básica para encontrar primitiva (antiderivada): para potências, usamos a regra do expoente:
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C \quad\text{para } n\neq -1,
onde C é a constante de integração. Para uma constante c,
\int c\,dx = c x + C.
Vou aplicar essas regras aos termos \,6x e \,1.

Passo 4

Calcule as primitivas de cada termo.\n\nPara \,6x:\n \int 6x\,dx = 6\int x\,dx = 6\cdot\frac{x^{2}}{2} = 3x^{2}.\nPara \,1:\n \int 1\,dx = x.\nPortanto uma primitiva da função \,6x-1\, é
F(x)=3x^{2}-x + C.

Passo 5

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo: a integral definida de a até b de uma função é F(b)-F(a), onde F é qualquer primitiva da função integranda. Aqui:
\int_{1}^{2}(6x-1)\,dx = F(2)-F(1),
com F(x)=3x^{2}-x (podemos ignorar +C porque cancela na diferença).\n\nCalcule F(2):\n F(2)=3\cdot(2)^{2}-2 = 3\cdot 4 - 2 = 12-2 = 10.\nCalcule F(1):\n F(1)=3\cdot(1)^{2}-1 = 3-1 = 2.\nLogo\n \int_{1}^{2}(6x-1)\,dx = 10-2 = 8.

Passo 6

Verificação rápida (pra você ficar confiante): derivando F(x)=3x^{2}-x obtemos F'(x)=6x-1, que é exatamente a integranda. Então a primitiva está correta e o cálculo da integral também.

Resposta

8

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