Calcule as integrais definidas.
integral0^pi4 sec ^4 x cdot tg^5 x d x.

Passo 1

A gente quer calcular a integral definida integral0^pi4 sec^4 x,tan^5 x,dx. O conteúdo é integração de funções trigonométricas usando substituição. Para isso vamos usar a identidade sec^2 x = 1 + tan^2 x e o fato de que ddx(tan x) = sec^2 x.

Passo 2

Fazemos a substituição u = tan x, então du = sec^2 x,dx. Os limites mudam: quando x=0, u=0; quando x=pi4, u=1.

Passo 3

Reescrevemos o integrando em termos de u. Note que sec^4 x = sec^2 xcdotsec^2 x e uma das sec^2 x,dx vira du. Além disso sec^2 x = 1 + tan^2 x = 1 + u^2. Assim:
sec^4 x,tan^5 x,dx = sec^2 x,tan^5 x;l(sec^2 x,dxr) = u^5,(1+u^2),du,
Então a integral fica integral0^1u^5(1+u^2),du.

Passo 4

Agora expandimos e integramos o polinômio:
integral0^1(u^5 + u^7),du = [u^66 + u^88]0^1 = 16 + 18 = 724

Resposta

724

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