Calaular:
integral1^2 1x+1x^3 d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 1 a 2 da função composta por tfrac1x + tfrac1x^3. O conteúdo aqui é aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo e das regras de antiderivação para potências de x e para 1/x.

Passo 2

Usando a linearidade da integral, escrevemos
integral1^2l(tfrac1x + tfrac1x^3r),dx = integral1^2 tfrac1x,dx + integral1^2 x^-3,dx
Sabemos que a antiderivada de tfrac1x é ln(x) e a de x^-3 é tfracx^-2-2 = -tfrac12x^2. Logo, uma primitiva comum é
F(x) = ln(x) - tfrac12x^2

Passo 3

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral1^2l(tfrac1x + tfrac1x^3r),dx = F(2) - F(1)
Calculando cada termo:
F(2) = ln(2) - tfrac12cdot 2^2 = ln(2) - tfrac18,
F(1) = ln(1) - tfrac12cdot1^2 = 0 - tfrac12 = -tfrac12
Subtraindo, temos
F(2)-F(1) = l(ln(2) - tfrac18r) - l(-tfrac12r) = ln(2) + tfrac12 - tfrac18 = ln(2) + tfrac38

Resposta

ln(2) + tfrac38

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