Calcule as integrais definidas das seguintes funções vetoriais:
\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{t+1} \mathbf{i}+\frac{1}{t^{2}+1} \mathbf{j}+\frac{t}{t^{2}+1} \mathbf{k}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida, de t=0 a t=1, da função vetorial
\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{t+1}\,\mathbf{i}+\frac{1}{t^{2}+1}\,\mathbf{j}+\frac{t}{t^{2}+1}\,\mathbf{k}\right)dt.
Informações dadas que vamos usar:
  • O limite inferior é 0 e o superior é 1.
  • As componentes escalares da função vetorial são:
    • componente em \mathbf{i}: \dfrac{1}{t+1},
    • componente em \mathbf{j}: \dfrac{1}{t^{2}+1},
    • componente em \mathbf{k}: \dfrac{t}{t^{2}+1}.
O que o exercício pede: calcular a integral definida do vetor, ou seja, encontrar o vetor formado pelas integrais definidas das três componentes entre 0 e 1.

Passo 2

Regra importante que vamos usar (e que é simples): a integral de uma função vetorial é feita componente a componente, porque a integral é linear. Em fórmulas:
\int_{0}^{1}\big(f(t)\,\mathbf{i}+g(t)\,\mathbf{j}+h(t)\,\mathbf{k}\big)\,dt = \left(\int_{0}^{1}f(t)\,dt\right)\mathbf{i} + \left(\int_{0}^{1}g(t)\,dt\right)\mathbf{j} + \left(\int_{0}^{1}h(t)\,dt\right)\mathbf{k}.
Portanto vamos calcular as três integrais escalares separadamente.

Passo 3

Calcular a componente em \mathbf{i}:
\int_{0}^{1}\frac{1}{t+1}\,dt.
Conhecimento usado: uma primitiva (antiderivada) de \dfrac{1}{t+1} é \ln|t+1|, porque a derivada de \ln|t+1| é \dfrac{1}{t+1}. Observação: no intervalo [0,1] temos t+1>0, então podemos omitir o valor absoluto e escrever \ln(t+1).
Avaliação entre os limites:
\left.\ln(t+1)\right|_{0}^{1}=\ln(1+1)-\ln(0+1)=\ln 2-\ln 1=\ln 2.
Assim, a integral da componente em \mathbf{i} vale \ln 2.

Passo 4

Calcular a componente em \mathbf{j}:
\int_{0}^{1}\frac{1}{t^{2}+1}\,dt.
Conhecimento usado: uma primitiva de \dfrac{1}{t^{2}+1} é \arctan t (ou \tan^{-1}t), pois \dfrac{d}{dt}\big(\arctan t\big)=\dfrac{1}{1+t^{2}}.
Avaliação entre os limites:
\left.\arctan t\right|_{0}^{1}=\arctan 1-\arctan 0.
Sabendo que \arctan 1=\dfrac{\pi}{4} e \arctan 0=0, obtemos
\arctan 1-\arctan 0=\frac{\pi}{4}.
Portanto, a integral da componente em \mathbf{j} vale \dfrac{\pi}{4}.

Passo 5

Calcular a componente em \mathbf{k}:
\int_{0}^{1}\frac{t}{t^{2}+1}\,dt.
Método: substituição simples. Seja u=t^{2}+1. Então
du = 2t\,dt \quad\Rightarrow\quad t\,dt=\frac{1}{2}\,du.
Quando t=0, u=0^{2}+1=1. Quando t=1, u=1^{2}+1=2. A integral transforma-se em
\int_{u=1}^{u=2}\frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du=\frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{1}{u}\,du.
Uma primitiva de \dfrac{1}{u} é \ln|u|. Avaliando:
\frac{1}{2}\left.\ln u\right|_{1}^{2}=\frac{1}{2}\big(\ln 2-\ln 1\big)=\frac{1}{2}\ln 2.
Assim, a integral da componente em \mathbf{k} vale \dfrac{1}{2}\ln 2.

Passo 6

Juntando os resultados das três componentes (cada uma calculada nos passos anteriores), obtemos o vetor resultado da integral definida. Parabéns — quase lá!

Resposta

\ln 2\,\mathbf{i}+\dfrac{\pi}{4}\,\mathbf{j}+\dfrac{1}{2}\ln 2\,\mathbf{k}

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