Calcule as integrais definidas das seguintes funções vetoriais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida, de
a
, da função vetorial
Informações dadas que vamos usar:
- O limite inferior é
e o superior é . - As componentes escalares da função vetorial são:
- componente em
: , - componente em
: , - componente em
: .
- componente em
O que o exercício pede: calcular a integral definida do vetor, ou seja, encontrar o vetor formado pelas integrais definidas das três componentes entre
e
.
Passo 2
Regra importante que vamos usar (e que é simples): a integral de uma função vetorial é feita componente a componente, porque a integral é linear. Em fórmulas:
Portanto vamos calcular as três integrais escalares separadamente.
Passo 3
Calcular a componente em
:
Conhecimento usado: uma primitiva (antiderivada) de
é
, porque a derivada de
é
. Observação: no intervalo
temos
, então podemos omitir o valor absoluto e escrever
.
Avaliação entre os limites:
Assim, a integral da componente em
vale
.
Passo 4
Calcular a componente em
:
Conhecimento usado: uma primitiva de
é
(ou
), pois
.
Avaliação entre os limites:
Sabendo que
e
, obtemos
Portanto, a integral da componente em
vale
.
Passo 5
Calcular a componente em
:
Método: substituição simples. Seja
. Então
Quando
,
. Quando
,
. A integral transforma-se em
Uma primitiva de
é
. Avaliando:
Assim, a integral da componente em
vale
.
Passo 6
Juntando os resultados das três componentes (cada uma calculada nos passos anteriores), obtemos o vetor resultado da integral definida. Parabéns — quase lá!