A temperatura em um ponto (x, y, z) é dada por
T(x, y, z)=200 e^{-x^{2}-3 y^{2}-z^{2}}
onde T é medido em { }^{\circ} \mathrm{C} e x, y, e z em metros.
(a) Determine a taxa de variação da temperatura no ponto P=(2,-1,2) em direção ao ponto (3,-3,3).
(b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P ?
(c) Encontre a taxa máxima de crescimento da temperatura em P.

Passo 1

O enunciado nos dá a função temperatura
T(x,y,z)=200 e^{-x^{2}-3y^{2}-z^{2}}
e o ponto P=(2,-1,2). As perguntas são:
  • (a) Determinar a taxa de variação da temperatura em P na direção do ponto (3,-3,3).
  • (b) Determinar a direção de maior crescimento da temperatura em P.
  • (c) Encontrar a taxa máxima de crescimento da temperatura em P.
Informações relevantes dadas:
  • A fórmula explícita de T(x,y,z).
  • O ponto onde se avalia: P=(2,-1,2).
  • A direção desejada em (a) é a que vai de P até (3,-3,3), ou seja o vetor (1,-2,1) (vou usar essa informação para construir o vetor direção).

Passo 2

Conceito e fórmula que vou usar (explicado devagar):
  • A taxa de variação de T numa direção unitária \mathbf{u} no ponto P é o derivado direcional
D_{\mathbf{u}}T(P)=\nabla T(P)\cdot \mathbf{u},
onde \nabla T é o gradiente de T (vetor das derivadas parciais) e \cdot é o produto escalar. Intuição: o gradiente aponta na direção em que T cresce mais rapidamente e seu produto com a direção unitária dá a taxa nessa direção.
Para calcular \nabla T é necessário calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial T}{\partial x}, \dfrac{\partial T}{\partial y}, \dfrac{\partial T}{\partial z}. Aqui usamos a regra da cadeia: se T(x,y,z)=200 e^{g(x,y,z)} com g(x,y,z)=-x^2-3y^2-z^2, então
\frac{\partial T}{\partial x}=200 e^{g(x,y,z)}\cdot \frac{\partial g}{\partial x}.
E \frac{\partial g}{\partial x}=-2x. Procede-se igual para y e z.

Passo 3

Calcular explicitamente as derivadas parciais e o gradiente:
\frac{\partial T}{\partial x}=200 e^{-x^{2}-3y^{2}-z^{2}}\cdot(-2x)=-400x\,e^{-x^{2}-3y^{2}-z^{2}},
\frac{\partial T}{\partial y}=200 e^{-x^{2}-3y^{2}-z^{2}}\cdot(-6y)=-1200y\,e^{-x^{2}-3y^{2}-z^{2}},
\frac{\partial T}{\partial z}=200 e^{-x^{2}-3y^{2}-z^{2}}\cdot(-2z)=-400z\,e^{-x^{2}-3y^{2}-z^{2}}.
Logo o gradiente geral é
\displaystyle \nabla T(x,y,z)=\bigl(-400x\,e^{-x^{2}-3y^{2}-z^{2}},\; -1200y\,e^{-x^{2}-3y^{2}-z^{2}},\; -400z\,e^{-x^{2}-3y^{2}-z^{2}}\bigr).
Agora avalio em P=(2,-1,2). Primeiro o expoente:
-x^{2}-3y^{2}-z^{2}\Big|_{P} = -2^{2}-3(-1)^{2}-2^{2} = -4-3-4 = -11.
Portanto e^{-x^{2}-3y^{2}-z^{2}}\big|_{P}=e^{-11}. Substituindo:
\nabla T(P)=\bigl(-800 e^{-11},\; 1200 e^{-11},\; -800 e^{-11}\bigr).

Passo 4

Calcular a direção pedida em (a): o vetor que vai de P=(2,-1,2) até (3,-3,3) é
\mathbf{v}=(3-2,\,-3-(-1),\,3-2)=(1,-2,1).
Para usar na fórmula do derivado direcional precisamos do vetor unitário \mathbf{u}=\dfrac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}. O comprimento de \mathbf{v} é
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{1+4+1}=\sqrt{6}.
Então
\mathbf{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{6}},\,\frac{-2}{\sqrt{6}},\,\frac{1}{\sqrt{6}}\right).

Passo 5

Calcular o derivado direcional em (a) pelo produto escalar:
D_{\mathbf{u}}T(P)=\nabla T(P)\cdot\mathbf{u}.
Substituindo \nabla T(P) e \mathbf{u}:
D_{\mathbf{u}}T(P)=\bigl(-800 e^{-11},\;1200 e^{-11},\;-800 e^{-11}\bigr)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{-2}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}}\right).
Fatorando e^{-11}/\sqrt{6}:
D_{\mathbf{u}}T(P)=\frac{e^{-11}}{\sqrt{6}}\bigl(-800 + 1200\cdot(-2) + (-800)\bigr).
Calcule o parêntese:
-800 + 1200\cdot(-2) + (-800) = -800 -2400 -800 = -4000.
Portanto
D_{\mathbf{u}}T(P)=-\frac{4000}{\sqrt{6}}\,e^{-11}.
Esse é o valor exato. Para ter uma ideia numérica, e^{-11}\approx 1{,}67017008\times10^{-5} e \sqrt{6}\approx 2{,}4494897, então
D_{\mathbf{u}}T(P)\approx -0{,}0273\quad (^{\circ}\mathrm{C}\text{ por metro}).
Interpretação: o sinal negativo indica que, ao mover-se de P na direção do ponto (3,-3,3), a temperatura está diminuindo; a taxa de diminuição é cerca de 0{,}0273\\ ^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{m}.

Passo 6

Direção de maior crescimento (b): teoria e cálculo.
  • Teoria: a direção de maior crescimento de T num ponto é a direção do gradiente \nabla T(P). Normalmente damos essa direção como um vetor unitário na direção do gradiente:
\mathbf{u}_{\text{máx}}=\frac{\nabla T(P)}{\|\nabla T(P)\|}.á
Já temos \nabla T(P)=(-800 e^{-11},\,1200 e^{-11},\,-800 e^{-11}). Calculemos o comprimento:
\|\nabla T(P)\|=e^{-11}\sqrt{(-800)^{2}+1200^{2}+(-800)^{2}}.
Calcule a soma dentro da raiz:
(-800)^{2}+1200^{2}+(-800)^{2}=640000+1440000+640000=2720000.
Observe que \sqrt{2720000}=400\sqrt{17} (porque 2720000=400^{2}\cdot 17). Então
\|\nabla T(P)\|=400\sqrt{17}\,e^{-11}.
Dividindo o gradiente por seu módulo cancela e^{-11} e o fator numérico:
\mathbf{u}_{\text{máx}}=\left(\frac{-800}{400\sqrt{17}},\;\frac{1200}{400\sqrt{17}},\;\frac{-800}{400\sqrt{17}}\right)=\left(\frac{-2}{\sqrt{17}},\;\frac{3}{\sqrt{17}},\;\frac{-2}{\sqrt{17}}\right).á
Portanto a direção de maior crescimento em P é o vetor unitário
\boxed{\displaystyle \left(\,-\frac{2}{\sqrt{17}},\;\frac{3}{\sqrt{17}},\;-\frac{2}{\sqrt{17}}\,\right).}

Passo 7

Taxa máxima de crescimento em P (c):
  • Teoria: a taxa máxima de crescimento (o maior valor possível do derivado direcional) é exatamente o módulo do gradiente \|\nabla T(P)\|.
    Já calculamos
\|\nabla T(P)\|=400\sqrt{17}\,e^{-11}.
Esse é o valor exato. Em valor numérico, usando e^{-11}\approx 1{,}67017008\times10^{-5} e \sqrt{17}\approx 4{,}1231056, obtemos
\|\nabla T(P)\|\approx 0{,}02755\quad(^{\circ}\mathrm{C}\text{ por metro}).
Significado: se se mover exatamente na direção \mathbf{u}_{\text{máx}}á a temperatura aumenta e cresce à razão aproximada de 0{,}02755\\ ^{\circ}\mathrm{C} por metro.

Resposta

(a) -\dfrac{4000}{\sqrt{6}}\,e^{-11}\approx -0{,}0273 ^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{m}
(b) \displaystyle \left(-\dfrac{2}{\sqrt{17}},\;\dfrac{3}{\sqrt{17}},\;-\dfrac{2}{\sqrt{17}}\right)
(c) \displaystyle 400\sqrt{17}\,e^{-11}\approx 0{,}02755 ^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{m}

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