onde T é medido em { }^{\circ} \mathrm{C} e x, y, e z em metros.
(a) Determine a taxa de variação da temperatura no ponto P=(2,-1,2) em direção ao ponto (3,-3,3).
(b) Qual é a direção de maior crescimento da temperatura em P ?
(c) Encontre a taxa máxima de crescimento da temperatura em P.
Passo 1
O enunciado nos dá a função temperatura
T(x,y,z)=200 e^{-x^{2}-3y^{2}-z^{2}}
e o ponto P=(2,-1,2). As perguntas são:
(a) Determinar a taxa de variação da temperatura em P na direção do ponto (3,-3,3).
(b) Determinar a direção de maior crescimento da temperatura em P.
(c) Encontrar a taxa máxima de crescimento da temperatura em P.
Informações relevantes dadas:
A fórmula explícita de T(x,y,z).
O ponto onde se avalia: P=(2,-1,2).
A direção desejada em (a) é a que vai de P até (3,-3,3), ou seja o vetor (1,-2,1) (vou usar essa informação para construir o vetor direção).
Passo 2
Conceito e fórmula que vou usar (explicado devagar):
A taxa de variação de T numa direção unitária \mathbf{u} no ponto P é o derivado direcional
D_{\mathbf{u}}T(P)=\nabla T(P)\cdot \mathbf{u},
onde \nabla T é o gradiente de T (vetor das derivadas parciais) e \cdot é o produto escalar. Intuição: o gradiente aponta na direção em que T cresce mais rapidamente e seu produto com a direção unitária dá a taxa nessa direção.
Para calcular \nabla T é necessário calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial T}{\partial x}, \dfrac{\partial T}{\partial y}, \dfrac{\partial T}{\partial z}. Aqui usamos a regra da cadeia: se T(x,y,z)=200 e^{g(x,y,z)} com g(x,y,z)=-x^2-3y^2-z^2, então
Esse é o valor exato. Para ter uma ideia numérica, e^{-11}\approx 1{,}67017008\times10^{-5} e \sqrt{6}\approx 2{,}4494897, então
D_{\mathbf{u}}T(P)\approx -0{,}0273\quad (^{\circ}\mathrm{C}\text{ por metro}).
Interpretação: o sinal negativo indica que, ao mover-se de P na direção do ponto (3,-3,3), a temperatura está diminuindo; a taxa de diminuição é cerca de 0{,}0273\\ ^{\circ}\mathrm{C}/\mathrm{m}.
Passo 6
Direção de maior crescimento (b): teoria e cálculo.
Teoria: a direção de maior crescimento de T num ponto é a direção do gradiente \nabla T(P). Normalmente damos essa direção como um vetor unitário na direção do gradiente:
Teoria: a taxa máxima de crescimento (o maior valor possível do derivado direcional) é exatamente o módulo do gradiente \|\nabla T(P)\|.
Já calculamos
\|\nabla T(P)\|=400\sqrt{17}\,e^{-11}.
Esse é o valor exato. Em valor numérico, usando e^{-11}\approx 1{,}67017008\times10^{-5} e \sqrt{17}\approx 4{,}1231056, obtemos
\|\nabla T(P)\|\approx 0{,}02755\quad(^{\circ}\mathrm{C}\text{ por metro}).
Significado: se se mover exatamente na direção \mathbf{u}_{\text{máx}}á a temperatura aumenta e cresce à razão aproximada de 0{,}02755\\ ^{\circ}\mathrm{C} por metro.