Use a Regra da Cadeia para achar d z / d t ou d w / d t.
z=\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}, \quad x=\ln t, \quad y=\cos t

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede-se calcular \dfrac{dz}{dt}.
  • Foram dadas as relações: z=\sqrt{1+x^{2}+y^{2}},\qquad x=\ln t,\qquad y=\cos t.
  • Observação sobre domínio: como aparece \ln t, assume-se t>0.

Passo 2

Entendendo a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis (ideia geral).
  • Se z=f(x,y) e x=x(t),\,y=y(t), então ao variar t a taxa de variação de z é dada pela soma das contribuições de cada variável intermediária: \frac{dz}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
  • Aqui f(x,y)=\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}. Vamos aplicar essa fórmula: calcular as derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y e as derivadas temporais dx/dt e dy/dt.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y.
  • Escrever z como potência: z=(1+x^{2}+y^{2})^{1/2}.
  • Usar a regra da potência e a derivada interna 2x (respeitando que é derivada parcial em relação a x): \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{2}(1+x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}}.
  • De forma análoga, derivando em relação a y: \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}}.

Passo 4

Calcular dx/dt e dy/dt.
  • Para x=\ln t, aplicar a derivada do logaritmo: \frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}(\ln t)=\frac{1}{t}.
  • Para y=\cos t, aplicar a derivada da função cosseno: \frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}(\cos t)=-\sin t.

Passo 5

Aplicar a Regra da Cadeia substituindo as derivadas parciais e temporais.
  • Pela fórmula da Passo 2: \frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
  • Substituindo os resultados dos passos anteriores: \frac{dz}{dt}=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}}\cdot\frac{1}{t}+\frac{y}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}}\cdot(-\sin t).
  • Colocando em forma única (colocando o denominador comum): \frac{dz}{dt}=\frac{\dfrac{x}{t}-y\sin t}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}}.

Passo 6

Expressar tudo em função de t substituindo x=\ln t e y=\cos t. Simplificar.
  • Substituindo: \frac{dz}{dt}=\frac{\dfrac{\ln t}{t}-\cos t\cdot\sin t}{\sqrt{1+(\ln t)^{2}+\cos^{2}t}}.
  • Opcional: lembrar que \cos t\sin t=\dfrac{1}{2}\sin(2t), então uma forma alternativa é \frac{dz}{dt}=\frac{\dfrac{\ln t}{t}-\tfrac{1}{2}\sin(2t)}{\sqrt{1+(\ln t)^{2}+\cos^{2}t}}.

Resposta

\frac{dz}{dt}=\frac{\dfrac{\ln t}{t}-\cos t\,\sin t}{\sqrt{1+(\ln t)^{2}+\cos^{2}t}}

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