Calcule as integrais definidas a seguir.
\int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{9}(x) \cdot \operatorname{sen}^{5}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/2} \cos^{9}(x)\,\sin^{5}(x)\,dx.
Informações relevantes dadas:
\,0\le x\le \pi/2, os expoentes são inteiros ímpares ( 9 e 5), e em [0,\pi/2] temos \sin x\ge 0 e \cos x\ge 0. A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo): quando um dos expoentes de \sin ou \cos é ímpar, uma técnica eficiente é separar um fator dessa função (a que tem expoente ímpar) para usar como diferencial numa substituição. Aqui o expoente de \sin é 5 (ímpar). Então escrevemos
\sin^{5}(x)=\sin^{4}(x)\sin x
e usamos a identidade pitagórica \sin^{2}x=1-\cos^{2}x para transformar \sin^{4}x=(\sin^{2}x)^{2}=(1-\cos^{2}x)^{2}. Assim a integral vira uma função de \cos x multiplicada por \sin x\,dx, o que permite a substituição u=\cos x porque du=-\sin x\,dx. Vou fazer isso agora.

Passo 3

Aplicando o que descrevemos:
\int_{0}^{\pi/2} \cos^{9}(x)\,\sin^{5}(x)\,dx = \int_{0}^{\pi/2} \cos^{9}(x)\,(\sin^{4}(x))\,\sin x\,dx = \int_{0}^{\pi/2} \cos^{9}(x)\,(1-\cos^{2}x)^{2}\,\sin x\,dx.
Faço a substituição \,u=\cos x, então \,du=-\sin x\,dx. Mudança dos limites:
\,x=0\Rightarrow u=\cos 0=1 e \,x=\pi/2\Rightarrow u=\cos(\pi/2)=0.
A integral transforma-se em
\int_{1}^{0} u^{9}(1-u^{2})^{2}(-du)=\int_{0}^{1} u^{9}(1-u^{2})^{2}\,du.

Passo 4

Expandimos o integrando para integrar termo a termo:
(1-u^{2})^{2}=1-2u^{2}+u^{4},
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u^{9}(1-u^{2})^{2}=u^{9}-2u^{11}+u^{13}.
Agora usamos a regra de potência para integrais: \displaystyle \int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1} para n\neq -1. Integramos de 0 a 1:
\int_{0}^{1} (u^{9}-2u^{11}+u^{13})\,du = \left[\frac{u^{10}}{10}-2\cdot\frac{u^{12}}{12}+\frac{u^{14}}{14}\right]_{0}^{1}.
Avalio em u=1 (em u=0 todos os termos dão 0):
\frac{1}{10}-2\cdot\frac{1}{12}+\frac{1}{14}.

Passo 5

Calculo final das frações. Para somar \displaystyle \frac{1}{10}-\frac{2}{12}+\frac{1}{14} simplifico \frac{2}{12}=\frac{1}{6} e uso denominador comum 210:
\frac{1}{10}=\frac{21}{210},\qquad \frac{1}{6}=\frac{35}{210},\qquad \frac{1}{14}=\frac{15}{210}.
Somando:
\frac{21}{210}-\frac{35}{210}+\frac{15}{210}=\frac{21-35+15}{210}=\frac{1}{210}.
Portanto a integral vale \displaystyle \frac{1}{210}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{210}

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