Calcule as integrais definidas a seguir.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações relevantes dadas:
, os expoentes são inteiros ímpares (
e
), e em
temos
e
. A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Estratégia (explicada passo a passo): quando um dos expoentes de
ou
é ímpar, uma técnica eficiente é separar um fator dessa função (a que tem expoente ímpar) para usar como diferencial numa substituição. Aqui o expoente de
é
(ímpar). Então escrevemos
e usamos a identidade pitagórica
para transformar
. Assim a integral vira uma função de
multiplicada por
, o que permite a substituição
porque
. Vou fazer isso agora.
Passo 3
Aplicando o que descrevemos:
Faço a substituição
, então
. Mudança dos limites:
e
.
A integral transforma-se em
A integral transforma-se em
Passo 4
Expandimos o integrando para integrar termo a termo:
logo
Agora usamos a regra de potência para integrais:
para
. Integramos de
a
:
Avalio em
(em
todos os termos dão
):
Passo 5
Calculo final das frações. Para somar
simplifico
e uso denominador comum
:
Somando:
Portanto a integral vale
.