Considere a família de curvas:
e respondas as seguintes questões:
- Qual a EDO que gera essa família de soluções?
- Qual é a EDO que gera a família de soluções ortogonais à essa família?
- Qual é a família de soluções ortogonais à família dada?
Passo 1
O enunciado dá a família de curvas
e pede três coisas:
- Qual a EDO cuja família geral de soluções é a família acima?
- Qual a EDO que gera as soluções ortogonais a essa família?
- Qual é a família de curvas ortogonais à família dada?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
é uma família com um parâmetro livre
. Cada curva da família satisfaz essa relação entre
e
. Para obter a EDO geradora devemos eliminar o parâmetro
(usando diferenciação implícita). Para obter as trajetórias ortogonais devemos usar que, em cada ponto, o declive da ortogonal é o negativo do recíproco do declive da família dada.
Passo 2
Vamos eliminar o parâmetro
pela diferenciação implícita. Primeiro reescrevo a equação dada:
Diferencio ambos os lados em relação a
. Lembre-se:
é constante (parâmetro),
depende de
, então use regra do produto e derivada de
que é
. Derivando:
Aplicando a regra do produto no lado esquerdo:
Agora calcule as derivadas parciais:
e
. Substituindo:
Divido por
para simplificar:
Passo 3
Agora uso a equação original para eliminar
. Da equação original:
Substituo esse valor na equação diferenciada:
Simplifico o termo com fração:
. Portanto:
Multiplico ambos os lados por
para eliminar denominador:
Isolo
:
Finalmente:
Essa é a EDO de primeira ordem (separável) satisfeita por toda a família dada.
Passo 4
Agora queremos a EDO das trajetórias ortogonais. Conceito-chave: se em cada ponto uma família tem declive
, então a família ortogonal tem declive
(negativo do recíproco), porque dois segmentos ortogonais têm declives cujo produto é
.
Aqui
. Portanto a equação das ortogonais é
Essa é a EDO que gera as curvas ortogonais.
Passo 5
Agora resolvo a EDO das ortogonais. A equação é separável:
Reescrevo separando variáveis: multiplico ambos os lados por
:
Integro ambos os lados. À esquerda integro termo a termo usando
e
. À direita
. Assim:
onde
é constante arbitrária de integração. Posso reorganizar essa relação para uma forma mais compacta multiplicando tudo por
:
onde
é outra constante arbitrária. Rearranjando:
Essa é a família geral das curvas ortogonais.
Passo 6
Resumo dos resultados obtidos (antes da resposta final):
- A EDO que gera a família dada é
. - A EDO das trajetórias ortogonais é
. - A família de soluções ortogonais, integrada, é dada por
, equivalente a .