Considere a família de curvas: \left(-x^{2}+k\right) y^{2}=x^{2}, k \in R e respondas as seguintes questões:
  • Qual a EDO que gera essa família de soluções?
  • Qual é a EDO que gera a família de soluções ortogonais à essa família?
  • Qual é a família de soluções ortogonais à família dada?

Passo 1

O enunciado dá a família de curvas
(-x^{2}+k)\,y^{2}=x^{2},\qquad k\in\mathbb{R},
e pede três coisas:
  1. Qual a EDO cuja família geral de soluções é a família acima?
  2. Qual a EDO que gera as soluções ortogonais a essa família?
  3. Qual é a família de curvas ortogonais à família dada?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
(-x^{2}+k)\,y^{2}=x^{2}
é uma família com um parâmetro livre k. Cada curva da família satisfaz essa relação entre x e y. Para obter a EDO geradora devemos eliminar o parâmetro k (usando diferenciação implícita). Para obter as trajetórias ortogonais devemos usar que, em cada ponto, o declive da ortogonal é o negativo do recíproco do declive da família dada.

Passo 2

Vamos eliminar o parâmetro k pela diferenciação implícita. Primeiro reescrevo a equação dada:
(-x^{2}+k)\,y^{2}=x^{2}.
Diferencio ambos os lados em relação a x. Lembre-se: k é constante (parâmetro), y=y(x) depende de x, então use regra do produto e derivada de y^{2} que é 2y\,y'. Derivando:
\frac{d}{dx}\big((-x^{2}+k)\,y^{2}\big)=\frac{d}{dx}(x^{2}).
Aplicando a regra do produto no lado esquerdo:
\big(\frac{d}{dx}(-x^{2}+k)\big)y^{2}+(-x^{2}+k)\cdot\frac{d}{dx}(y^{2})=2x.
Agora calcule as derivadas parciais: \frac{d}{dx}(-x^{2}+k)=-2x e \frac{d}{dx}(y^{2})=2y\,y'. Substituindo:
-2x\,y^{2}+(-x^{2}+k)\cdot 2y\,y' = 2x.
Divido por 2 para simplificar:
- x\,y^{2}+(-x^{2}+k)\,y\,y' = x.

Passo 3

Agora uso a equação original para eliminar (-x^{2}+k). Da equação original:
(-x^{2}+k)\,y^{2}=x^{2}\quad\Rightarrow\quad (-x^{2}+k)=\frac{x^{2}}{y^{2}}.
Substituo esse valor na equação diferenciada:
- x\,y^{2} + \frac{x^{2}}{y^{2}}\;y\,y' = x.
Simplifico o termo com fração: \frac{x^{2}}{y^{2}}\;y\,y' = \frac{x^{2}}{y}\,y'. Portanto:
- x\,y^{2} + \frac{x^{2}}{y}\,y' = x.
Multiplico ambos os lados por y para eliminar denominador:
- x\,y^{3} + x^{2}\,y' = x\,y.
Isolo y':
x^{2}\,y' = x\,y + x\,y^{3} = x\,y(1+y^{2}).
Finalmente:
y'=\frac{dy}{dx}=\frac{y(1+y^{2})}{x}.
Essa é a EDO de primeira ordem (separável) satisfeita por toda a família dada.

Passo 4

Agora queremos a EDO das trajetórias ortogonais. Conceito-chave: se em cada ponto uma família tem declive y'=f(x,y), então a família ortogonal tem declive y'_{\perp}=-\dfrac{1}{f(x,y)} (negativo do recíproco), porque dois segmentos ortogonais têm declives cujo produto é -1.
Aqui f(x,y)=\dfrac{y(1+y^{2})}{x}. Portanto a equação das ortogonais é
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{f(x,y)} = -\frac{1}{\dfrac{y(1+y^{2})}{x}} = -\frac{x}{y(1+y^{2})}.
Essa é a EDO que gera as curvas ortogonais.

Passo 5

Agora resolvo a EDO das ortogonais. A equação é separável:
\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y(1+y^{2})}.
Reescrevo separando variáveis: multiplico ambos os lados por y(1+y^{2})\,dx:
y(1+y^{2})\,dy = -x\,dx.
Integro ambos os lados. À esquerda integro termo a termo usando \int y\,dy=\tfrac{1}{2}y^{2} e \int y^{3}dy=\tfrac{1}{4}y^{4}. À direita \int -x\,dx=-\tfrac{1}{2}x^{2}. Assim:
\int \big(y + y^{3}\big)\,dy = \int -x\,dx
\frac{1}{2}y^{2}+\frac{1}{4}y^{4} = -\frac{1}{2}x^{2} + C,
onde C é constante arbitrária de integração. Posso reorganizar essa relação para uma forma mais compacta multiplicando tudo por 4:
2y^{2} + y^{4} = -2x^{2} + C_1,
onde C_1=4C é outra constante arbitrária. Rearranjando:
y^{4}+2y^{2}+2x^{2}=C_1.
Essa é a família geral das curvas ortogonais.

Passo 6

Resumo dos resultados obtidos (antes da resposta final):
  • A EDO que gera a família dada é \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y(1+y^{2})}{x}.
  • A EDO das trajetórias ortogonais é \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y(1+y^{2})}.
  • A família de soluções ortogonais, integrada, é dada por \dfrac{1}{2}y^{2}+\dfrac{1}{4}y^{4}+\dfrac{1}{2}x^{2}=C, equivalente a y^{4}+2y^{2}+2x^{2}=C_1.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y\big(1+y^{2}\big)}{x}\n \displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y\big(1+y^{2}\big)}\n \displaystyle \frac{1}{2}y^{2}+\frac{1}{4}y^{4}+\frac{1}{2}x^{2}=C

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