Dê a solução geral da seguinte EDO:
x^{5} \frac{d y}{d x}+x^{4} y=x^{2} y^{-3}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e pede a solução geral:
x^{5}\frac{dy}{dx}+x^{4}y=x^{2}y^{-3}.
Informações fornecidas e observações imediatas:
  • A incógnita é y em função de x, ou seja y=y(x).
  • A equação envolve potências de x e de y, incluindo y^{-3}.
  • Para dividir por x^{5} (passo natural adiante) precisamos de x\neq0.
  • Para que y^{-3} faça sentido real precisamos de y\neq0 na solução (não é permitido y=0 no lado direito da equação).
  • O objetivo: encontrar a expressão geral de y(x) que satisfaça a equação (constante arbitrária de integração incluída).

Passo 2

Coloco a equação em uma forma mais simples dividindo ambos os lados por x^{5} (valendo para x\neq0):
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=x^{-3}y^{-3}.
Agora a equação está escrita como uma equação de primeira ordem com um termo linear em y e um termo envolvendo y^{-3}.

Passo 3

Vou transformar a equação para uma forma que dê para resolver com métodos que deixam a equação linear. Observe que a equação tem a estrutura
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n},
com P(x)=\dfrac{1}{x}, Q(x)=x^{-3} e n=-3. Há uma substituição padrão que funciona bem aqui: definir uma nova função v(x) ligada a y por
v=y^{1-n}.
Isso é útil porque a substituição transforma a equação não linear em uma equação linear para v. No nosso caso 1-n=1-(-3)=4, então escolhemos
v=y^{4}.

Passo 4

Calculo a derivada de v em função de y e dy/dx. Usando derivada de potência:
\frac{dv}{dx}=4y^{3}\frac{dy}{dx}.
Isolando \dfrac{dy}{dx} obtemos
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{4y^{3}}\frac{dv}{dx}.

Passo 5

Substituo \dfrac{dy}{dx} na equação obtida no Passo 2:
\frac{1}{4y^{3}}\frac{dv}{dx}+\frac{1}{x}y=x^{-3}y^{-3}.
Multiplico toda a equação por 4y^{3} para eliminar as potências de y:
\frac{dv}{dx}+\frac{4}{x}y^{4}=4x^{-3}.
Lembro que y^{4}=v, então a equação torna-se uma equação linear em v:
\frac{dv}{dx}+\frac{4}{x}v=4x^{-3}.

Passo 6

Agora resolvo a equação linear de primeira ordem
\frac{dv}{dx}+\frac{4}{x}v=4x^{-3}.
Uso o método do fator integrante. O fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{4}{x}\,dx\right)=\exp(4\ln|x|)=|x|^{4}.
Para simplificar a escrita, trabalho com x\neq0 e uso \mu(x)=x^{4} (o tratamento de sinais pode ser absorvido na constante de integração depois). Multiplicando a equação por x^{4} obtenho
x^{4}\frac{dv}{dx}+4x^{3}v=4x.
O lado esquerdo é a derivada do produto x^{4}v, isto é
\frac{d}{dx}\big(x^{4}v\big)=4x.

Passo 7

Integro ambos os lados em relação a x:
x^{4}v=\int 4x\,dx=2x^{2}+C,
onde C é a constante de integração arbitrária. Portanto
v=\frac{2x^{2}+C}{x^{4}}=2x^{-2}+C x^{-4}.

Passo 8

Volto à variável original usando v=y^{4}. Assim
y^{4}=2x^{-2}+C x^{-4}=\frac{2x^{2}+C}{x^{4}}.
Tomo a raiz quarta em ambos os lados. Como estamos tratando de soluções reais, escrevo a solução geral incluindo o sinal \pm (a quarta raiz real tem sinal mais/menos):
y=\pm\frac{(2x^{2}+C)^{1/4}}{x}.
Lembretes sobre domínio e constantes:
  • A solução requer x\neq0.
  • Para y real precisamos de 2x^{2}+C\ge0; isso impõe restrições sobre C e sobre x dependendo do caso. A constante C é arbitrária real e determina o ramo admissível.
  • Não podemos ter y=0 porque o termo y^{-3} na equação original seria inválido.

Resposta

y=\pm\frac{(2x^{2}+C)^{1/4}}{x},\quad C\in\mathbb{R},\; x\neq0

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