Dê a solução geral da seguinte EDO:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e pede a solução geral:
Informações fornecidas e observações imediatas:
- A incógnita é
em função de , ou seja . - A equação envolve potências de
e de , incluindo . - Para dividir por
(passo natural adiante) precisamos de . - Para que
faça sentido real precisamos de na solução (não é permitido no lado direito da equação). - O objetivo: encontrar a expressão geral de
que satisfaça a equação (constante arbitrária de integração incluída).
Passo 2
Coloco a equação em uma forma mais simples dividindo ambos os lados por
(valendo para
):
Agora a equação está escrita como uma equação de primeira ordem com um termo linear em
e um termo envolvendo
.
Passo 3
Vou transformar a equação para uma forma que dê para resolver com métodos que deixam a equação linear. Observe que a equação tem a estrutura
com
,
e
. Há uma substituição padrão que funciona bem aqui: definir uma nova função
ligada a
por
Isso é útil porque a substituição transforma a equação não linear em uma equação linear para
. No nosso caso
, então escolhemos
Passo 4
Calculo a derivada de
em função de
e
. Usando derivada de potência:
Isolando
obtemos
Passo 5
Substituo
na equação obtida no Passo 2:
Multiplico toda a equação por
para eliminar as potências de
:
Lembro que
, então a equação torna-se uma equação linear em
:
Passo 6
Agora resolvo a equação linear de primeira ordem
Uso o método do fator integrante. O fator integrante
é dado por
Para simplificar a escrita, trabalho com
e uso
(o tratamento de sinais pode ser absorvido na constante de integração depois). Multiplicando a equação por
obtenho
O lado esquerdo é a derivada do produto
, isto é
Passo 7
Integro ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração arbitrária. Portanto
Passo 8
Volto à variável original usando
. Assim
Tomo a raiz quarta em ambos os lados. Como estamos tratando de soluções reais, escrevo a solução geral incluindo o sinal
(a quarta raiz real tem sinal mais/menos):
Lembretes sobre domínio e constantes:
- A solução requer
. - Para
real precisamos de ; isso impõe restrições sobre e sobre dependendo do caso. A constante é arbitrária real e determina o ramo admissível. - Não podemos ter
porque o termo na equação original seria inválido.