Calcule as integrais definidas a seguir.
\int_{\pi / 2}^{\pi} \frac{\sin 2 x}{2 \sin x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\pi/2}^{\pi} \frac{\sin 2x}{2\sin x}\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • Os limites de integração são \pi/2 e \pi.
  • A integranda é \dfrac{\sin 2x}{2\sin x}, que envolve funções trigonométricas; observe que \sin x=0 em x=\pi, ponto que coincide com o limite superior.

Passo 2

Primeira ideia útil: usar a identidade trigonométrica básica para simplificar a razão. A identidade é
\sin 2x = 2\sin x\cos x.
Essa identidade vale para todo x. Substituindo na integranda obtemos uma forma mais simples.

Passo 3

Substituindo \sin 2x na integranda:
\frac{\sin 2x}{2\sin x}=\frac{2\sin x\cos x}{2\sin x}.
Agora podemos simplificar o numerador e o denominador (para x tais que \sin x\neq0):
\frac{2\sin x\cos x}{2\sin x}=\cos x.
Portanto, para todo x em (\pi/2,\pi) a integranda é igual a \cos x.

Passo 4

Precisamos checar o comportamento em x=\pi, porque ali \sin x=0 e a expressão original parece ter divisão por zero. Mas como a forma é \dfrac{2\sin x\cos x}{2\sin x}, o fator \sin x cancela; isto mostra que a singularidade é removível. Formalmente,
\lim_{x\to\pi}\frac{\sin 2x}{2\sin x}=\lim_{x\to\pi}\cos x=\cos\pi=-1.
Logo a integranda estendida por continuidade vale \cos x também no extremo x=\pi. Isso justifica integrar a expressão \cos x no intervalo fechado [\pi/2,\pi].

Passo 5

Agora integramos a função simplificada. A primitiva de \cos x é \sin x. Assim
\int_{\pi/2}^{\pi}\frac{\sin 2x}{2\sin x}\,dx=\int_{\pi/2}^{\pi}\cos x\,dx=\bigl[\sin x\bigr]_{\pi/2}^{\pi}.
Calcule os valores:
\sin\pi=0,\qquad \sin\frac{\pi}{2}=1.
Portanto a diferença é
\sin\pi-\sin\frac{\pi}{2}=0-1=-1.

Resposta

-1

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