Calcule as integrais definidas a seguir.
\int_{\pi / 2}^{\pi} \frac{\sin 2 x}{2 \sin x} d x
\int_{\pi / 2}^{\pi} \frac{\sin 2 x}{2 \sin x} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações relevantes dadas:
- Os limites de integração são
e . - A integranda é
, que envolve funções trigonométricas; observe que em , ponto que coincide com o limite superior.
Passo 2
Primeira ideia útil: usar a identidade trigonométrica básica para simplificar a razão. A identidade é
Essa identidade vale para todo
. Substituindo na integranda obtemos uma forma mais simples.
Passo 3
Substituindo
na integranda:
Agora podemos simplificar o numerador e o denominador (para
tais que
):
Portanto, para todo
em
a integranda é igual a
.
Passo 4
Precisamos checar o comportamento em
, porque ali
e a expressão original parece ter divisão por zero. Mas como a forma é
, o fator
cancela; isto mostra que a singularidade é removível. Formalmente,
Logo a integranda estendida por continuidade vale
também no extremo
. Isso justifica integrar a expressão
no intervalo fechado
.
Passo 5
Agora integramos a função simplificada. A primitiva de
é
. Assim
Calcule os valores:
Portanto a diferença é