Calcule as integrais definidas a seguir.
\int_{0}^{\pi / 4} \tan ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/4} \tan^{2}x\,dx.
Informações dadas:
  • Os limites de integração são 0 e \pi/4.
  • A função integranda é \tan^{2}x.
    A tarefa é obter o valor numérico exato dessa integral.

Passo 2

Vou usar uma identidade trigonométrica clássica que simplifica \tan^{2}x. A identidade vem de dividir a relação pitagórica \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 por \cos^{2}x. Fazendo isso obtemos:
\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}+\frac{\cos^{2}x}{\cos^{2}x}= \frac{1}{\cos^{2}x}.
Reescrevendo os termos em função de \tan e \operatorname{sec}:
\tan^{2}x + 1 = \operatorname{sec}^{2}x.
Portanto
\tan^{2}x = \operatorname{sec}^{2}x - 1.
Isso é útil porque \operatorname{sec}^{2}x tem uma antiderivada simples.

Passo 3

Substituo a identidade na integral para escrever a integranda de forma mais fácil de integrar:
\int_{0}^{\pi/4} \tan^{2}x\,dx = \int_{0}^{\pi/4} \big(\operatorname{sec}^{2}x - 1\big)\,dx.
Agora a integral é a diferença de duas integrais mais simples.

Passo 4

Preciso das antiderivadas:
  • A antiderivada de \operatorname{sec}^{2}x é \tan x. Uma maneira de ver isso é derivar \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} usando a regra do quociente:
\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^{2}x} = \frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=\frac{1}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec}^{2}x.
  • A antiderivada de 1 é x.
Portanto uma antiderivada da integranda \operatorname{sec}^{2}x-1 é \tan x - x.

Passo 5

Aplico o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida:
\int_{0}^{\pi/4} \big(\operatorname{sec}^{2}x - 1\big)\,dx = \big[\tan x - x\big]_{0}^{\pi/4}.
Calculo nos limites:
  • \tan\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=1.
  • \tan(0)=0.
Substituindo:
\big(\tan\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)-\tfrac{\pi}{4}\big)-\big(\tan(0)-0\big) = \big(1-\tfrac{\pi}{4}\big)-0 = 1-\tfrac{\pi}{4}.

Resposta

1-\dfrac{\pi}{4}

Exercícios relacionados