Calcule as integrais definidas a seguir.
\int_{0}^{\pi / 4} \tan ^{2} x d x
\int_{0}^{\pi / 4} \tan ^{2} x d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- Os limites de integração são
e . - A função integranda é
.
A tarefa é obter o valor numérico exato dessa integral.
Passo 2
Vou usar uma identidade trigonométrica clássica que simplifica
. A identidade vem de dividir a relação pitagórica
por
. Fazendo isso obtemos:
Reescrevendo os termos em função de
e
:
Portanto
Isso é útil porque
tem uma antiderivada simples.
Passo 3
Substituo a identidade na integral para escrever a integranda de forma mais fácil de integrar:
Agora a integral é a diferença de duas integrais mais simples.
Passo 4
Preciso das antiderivadas:
- A antiderivada de
é . Uma maneira de ver isso é derivar usando a regra do quociente:
- A antiderivada de
é .
Portanto uma antiderivada da integranda
é
.
Passo 5
Aplico o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral definida:
Calculo nos limites:
-
. -
.
Substituindo: