Calcule as integrais definidas a seguir.
\int_{0}^{\pi / 8} \sin 2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/8} \sin 2x \, dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \sin 2x.
  • Os limites de integração são x=0 (inferior) e x=\pi/8 (superior).
    A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Escolha do método (explicando de forma simples e amiga): uma forma direta e clara é usar a substituição linear u=2x. Vou explicar por que isso ajuda e como funciona.
Regra da substituição (ideia): se u=g(x) é uma função diferenciável, então du = g'(x)\,dx. Isso permite trocar a variável de integração de x para u, às vezes simplificando a integral. Além disso, quando a integral é definida, ajustamos também os limites conforme a nova variável.
Aqui g(x)=2x, então du=2\,dx ou dx=\dfrac{du}{2}. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Fazer a substituição u=2x.
  • Computar os novos limites:
    • Quando x=0, u=2\cdot 0 = 0.
    • Quando x=\pi/8, u=2\cdot(\pi/8)=\pi/4.
  • Substituir na integral:
\int_{0}^{\pi/8} \sin 2x \, dx = \int_{u=0}^{u=\pi/4} \sin u \cdot \frac{du}{2}.
  • Colocar o fator constante para fora:
\int_{0}^{\pi/8} \sin 2x \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/4} \sin u \, du.

Passo 4

Integrando \sin u: ensinar a primitiva.
Conhecimento útil: a derivada de \cos u é \dfrac{d}{du}\cos u = -\sin u. Portanto, uma primitiva de \sin u é -\cos u, pois ao derivar -\cos u obtemos \sin u.
Também existe a fórmula geral (útil de lembrar): para a\neq 0,
\int \sin(ax)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax) + C,
porque a derivada de \cos(ax) traz um fator a pela regra da cadeia.
Aplicando aqui:
\int_{0}^{\pi/4} \sin u \, du = \bigl[-\cos u\bigr]_{0}^{\pi/4}.

Passo 5

Avaliar a integral definida passo a passo.
  • Primeiro, aplicar o resultado do Passo 4 com o fator \tfrac{1}{2}:
\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/4} \sin u \, du = \frac{1}{2}\bigl[-\cos u\bigr]_{0}^{\pi/4}.
  • Calcular os cossenos conhecidos:
    • \cos\bigl(\pi/4\bigr)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    • \cos(0)=1.
  • Substituir nos limites:
\frac{1}{2}\bigl[-\cos(\pi/4) + \cos(0)\bigr] = \frac{1}{2}\bigl(-\tfrac{\sqrt{2}}{2} + 1\bigr).
  • Simplificar a expressão:
\frac{1}{2}\bigl(1 - \tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2 - \sqrt{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}.
Se quiser uma verificação rápida alternativa: usar diretamente a primitiva \int \sin 2x\,dx = -\tfrac{1}{2}\cos 2x e avaliar de 0 a \pi/8 dá o mesmo resultado; é a mesma conta, reescrita.

Resposta

\dfrac{2-\sqrt{2}}{4}

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