Calcule as integrais definidas a seguir.
\int_{0}^{\pi / 8} \sin 2 x d x
\int_{0}^{\pi / 8} \sin 2 x d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior).
A tarefa é encontrar o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Escolha do método (explicando de forma simples e amiga): uma forma direta e clara é usar a substituição linear
. Vou explicar por que isso ajuda e como funciona.
Regra da substituição (ideia): se
é uma função diferenciável, então
. Isso permite trocar a variável de integração de
para
, às vezes simplificando a integral. Além disso, quando a integral é definida, ajustamos também os limites conforme a nova variável.
Aqui
, então
ou
. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Fazer a substituição
.
-
Computar os novos limites:
- Quando
, . - Quando
, .
- Quando
-
Substituir na integral:
- Colocar o fator constante para fora:
Passo 4
Integrando
: ensinar a primitiva.
Conhecimento útil: a derivada de
é
. Portanto, uma primitiva de
é
, pois ao derivar
obtemos
.
Também existe a fórmula geral (útil de lembrar): para
,
porque a derivada de
traz um fator
pela regra da cadeia.
Aplicando aqui:
Passo 5
Avaliar a integral definida passo a passo.
- Primeiro, aplicar o resultado do Passo 4 com o fator
:
-
Calcular os cossenos conhecidos:
-
. -
.
-
-
Substituir nos limites:
- Simplificar a expressão:
Se quiser uma verificação rápida alternativa: usar diretamente a primitiva
e avaliar de
a
dá o mesmo resultado; é a mesma conta, reescrita.