55-56
(a) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real.

Passo 1

O enunciado que você mandou é: “55-56 (a) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real.”
Pergunta explicitamente pedida: demonstrar que a equação (não especificada) tem pelo menos uma raiz real.
Informações fornecidas pelo enunciado recebido: nenhuma equação, nenhum domínio, nenhum parâmetro, nada além da frase acima.

Passo 2

Não é possível iniciar uma demonstração específica porque a equação a ser estudada não foi fornecida. Para provar que “a equação tem pelo menos uma raiz real” preciso saber qual é a função/equação f(x) envolvida (ou pelo menos o tipo: polinomial de certo grau, trigonométrica, exponencial, com parâmetro, etc.). Sem esse dado não se pode calcular sinais, limites, nem aplicar teoremas concretos. Não vou inventar a equação porque isso alteraria o problema original.

Passo 3

Enquanto você não enviar a equação, vou te explicar, passo a passo e de forma prática, os métodos mais comuns que se usam numa prova para mostrar que uma equação tem pelo menos uma raiz real. Assim, quando você mandar a equação, já vai saber qual caminho seguir.
Método 1 — Teorema do Valor Intermediário (Bolzano)
  • Enunciado prático: se f é contínua em [a,b] e f(a)\cdot f(b)<0, então existe c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0.
  • O que significa: “contínua” quer dizer que não tem saltos no intervalo; a condição f(a)\cdot f(b)<0 diz que os valores nos extremos têm sinais opostos (um positivo e outro negativo).
  • Como usar na prova: escolher dois pontos a e b onde é fácil calcular f(a) e f(b). Se encontrarmos sinais opostos, aplicamos Bolzano e pronto — existe pelo menos uma raiz entre a e b.
  • Dica de exame: procure a e b inteiros simples (por exemplo, -2,-1,0,1,2) para testar sinais; se a função for racional, exponencial, polinomial, trigonométrica com domínio habitual, geralmente é contínua.

Passo 4

Método 2 — Paridade do grau (para polinômios)
  • Regra prática: todo polinômio de grau ímpar com coeficientes reais tem pelo menos uma raiz real.
  • Por quê (intuição e ideia formal): para um polinômio p(x) de grau ímpar, o termo dominante é a_n x^{n} com n ímpar; quando x\to+\infty e x\to-\infty os sinais de a_n x^{n} são opostos, logo \lim_{x\to+\infty}p(x) e \lim_{x\to-\infty}p(x) têm sinais opostos. Pela continuidade do polinômio e pelo Teorema do Valor Intermediário há uma raiz real.
  • Como usar: identifique o grau do polinômio; se for ímpar, você já tem a existência garantida — só cite a propriedade e explique o comportamento nos infinitos.

Passo 5

Método 3 — Redução algébrica / fatoração / substituição
  • Às vezes a equação pode ser manipulada, fatorada ou você pode fazer uma substituição que transforme em produto de fatores ou em uma equação conhecida.
  • Exemplo de ideia: transformar f(x)=0 em g(x)h(x)=0 ou em forma que permita aplicar Bolzano em um fator.
  • Dica de prova: mostre que existe um valor que zera algum fator ou que os fatores assumem sinais opostos.

Passo 6

Método 4 — Monotonicidade e limites
  • Se você mostrar que f é contínua e estritamente monotônica em \mathbb{R} (por exemplo f'(x)>0 para todo x), então f é bijetora em \mathbb{R} sobre seu intervalo imagem; daí, se \lim_{x\to\pm\infty} f(x) têm sinais opostos ou se algum valor específico está no intervalo imagem, há existência de raiz.
  • Como aplicar: calcule f'(x) (se existir) e mostre sinal; calcule limites em \pm\infty quando necessário.

Passo 7

Exemplos curtos (para fixar)
  • Exemplo A (usar Bolzano): para f(x)=x^{3}-x+1. Avalia-se f(-2)=-8+2+1=-5 e f(0)=1. Como f(-2)<0 e f(0)>0, por Bolzano existe c\in(-2,0) tal que f\text{(c)}=0.
  • Exemplo B (polinômio de grau ímpar): para p(x)=x^{5}+x+1. Como \lim_{x\to+\infty}p(x)=+\infty e \lim_{x\to-\infty}p(x)=-\infty, existe pelo menos uma raiz real.

Passo 8

Checklist prático para a prova (passo-a-passo rápido)
  1. Identifique a função f(x) equivalente à equação f(x)=0.
  2. Verifique continuidade no intervalo de interesse.
  3. Tente avaliar f em pontos simples para encontrar mudança de sinal; se encontrar, aplique Bolzano.
  4. Se for polinômio, verifique o grau: se ímpar, existe raiz real automaticamente.
  5. Se possível, tente fatorar ou fazer substituição para reduzir o problema.
  6. Se for função diferenciável, verificar monotonicidade pode garantir unicidade da raiz (se existir).

Passo 9

Se você quiser que eu resolva o item (a) especificamente, por favor envie a equação completa (ex.: x^3-2x+1=0 ou e^x+\sin x-1=0 ou indique o enunciado completo). Assim eu aplico os métodos acima passo a passo com cálculos detalhados, explicando todas as etapas como você pediu — sem pular nada. Força aí, manda a equação que eu te guio.

Resposta

Não é possível demonstrar: a equação não foi fornecida.

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