Calcule as integrais:
Determine a área da região delimitada pelas curvas:
y=x^{2}-4 x+3 e y=0.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a área da região limitada pelas curvas y=x^{2}-4x+3 e y=0.
Informações dadas: a equação da parábola é y=x^{2}-4x+3 e a reta eixo x é y=0.
Pergunta: qual é a área da região fechada por essas duas curvas?

Passo 2

Primeiro precisamos achar os pontos de interseção entre as curvas, ou seja, resolver
x^{2}-4x+3=0.
Fatorando o polinômio:
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).
Logo as raízes são x=1 e x=3. Esses são os limites em x da região fechada.

Passo 3

Agora identifiquemos qual curva está acima da outra no intervalo [1,3]. Avaliando a parábola em x=2:
y(2)=2^{2}-4\cdot2+3=4-8+3=-1.
Como y(2)=-1<0, a parábola fica abaixo do eixo x entre as raízes. Também podemos observar que o coeficiente de x^{2} é positivo, então a parábola abre para cima e está abaixo de y=0 entre x=1 e x=3. Portanto, a curva superior é y=0 e a inferior é y=x^{2}-4x+3.

Passo 4

A área entre duas curvas y_{\text{top}}(x) e y_{\text{bot}}(x) no intervalo [a,b] é dada por
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui y_{\text{top}}(x)=0, y_{\text{bot}}(x)=x^{2}-4x+3, e a=1, b=3. Assim
\text{Área}=\int_{1}^{3}\bigl(0-(x^{2}-4x+3)\bigr)\,dx=\int_{1}^{3}\bigl(-x^{2}+4x-3\bigr)\,dx.Á

Passo 5

Calculemos uma primitiva de -x^{2}+4x-3. Integramos termo a termo:
\int -x^{2}\,dx=-\frac{1}{3}x^{3},\qquad \int 4x\,dx=2x^{2},\qquad \int -3\,dx=-3x.
Portanto uma primitiva é
F(x)=-\frac{1}{3}x^{3}+2x^{2}-3x.

Passo 6

Avalie a primitiva nos extremos e faça a diferença:
F(3)=-\frac{1}{3}\cdot 3^{3}+2\cdot 3^{2}-3\cdot 3=-\frac{27}{3}+18-9=-9+18-9=0,
F(1)=-\frac{1}{3}\cdot 1^{3}+2\cdot 1^{2}-3\cdot 1=-\frac{1}{3}+2-3=-\frac{1}{3}-1=-\frac{4}{3}.
Então a área é
\text{Área}=F(3)-F(1)=0-\Bigl(-\frac{4}{3}\Bigr)=\frac{4}{3}.Á

Passo 7

Resumo didático rápido: achamos onde a parábola cruza o eixo x (raízes 1 e 3), verificamos que entre essas raízes a parábola está abaixo do eixo x, montamos a integral da diferença (topo menos fundo) e calculamos a integral definida. Faltou só respirar fundo — você conseguiu!

Resposta

\displaystyle \frac{4}{3}

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