Calcule as integrais:
Determine a área da região delimitada pelas curvas:
y=x^{2}-4 x+3 e y=0.
Determine a área da região delimitada pelas curvas:
y=x^{2}-4 x+3 e y=0.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a área da região limitada pelas curvas
e
.
Informações dadas: a equação da parábola é e a reta eixo
é
.
Pergunta: qual é a área da região fechada por essas duas curvas?
Informações dadas: a equação da parábola é
Pergunta: qual é a área da região fechada por essas duas curvas?
Passo 2
Primeiro precisamos achar os pontos de interseção entre as curvas, ou seja, resolver
Fatorando o polinômio:
Logo as raízes são
e
. Esses são os limites em
da região fechada.
Passo 3
Agora identifiquemos qual curva está acima da outra no intervalo
. Avaliando a parábola em
:
Como
, a parábola fica abaixo do eixo
entre as raízes. Também podemos observar que o coeficiente de
é positivo, então a parábola abre para cima e está abaixo de
entre
e
. Portanto, a curva superior é
e a inferior é
.
Passo 4
A área entre duas curvas
e
no intervalo
é dada por
Aqui
,
, e
,
. Assim
Passo 5
Calculemos uma primitiva de
. Integramos termo a termo:
Portanto uma primitiva é
Passo 6
Avalie a primitiva nos extremos e faça a diferença:
Então a área é
Passo 7
Resumo didático rápido: achamos onde a parábola cruza o eixo
(raízes
e
), verificamos que entre essas raízes a parábola está abaixo do eixo
, montamos a integral da diferença (topo menos fundo) e calculamos a integral definida. Faltou só respirar fundo — você conseguiu!