Calcule as integrais:
Determine a área da região delimitada pelas curvas:
y=x^{2}-2 x e y=x.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a área da região delimitada pelas curvas y = x^{2} - 2x e y = x.\n
Informações dadas: as duas equações das curvas, sem outras restrições explícitas. A região pedida é a parte do plano onde essas duas curvas se encontram e fecham uma região limitada — para encontrar essa região precisamos achar os pontos de interseção e decidir qual curva fica por cima entre esses pontos.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção das curvas resolvendo x^{2}-2x = x.\n
Fazendo as contas:
x^{2}-2x = x \implies x^{2}-3x = 0 \implies x(x-3)=0.
Portanto as soluções são x=0 e x=3.\n
Os pontos de interseção são (0,0) e (3,3), pois substituindo em y=x obtemos y=0 e y=3.

Passo 3

Determinar qual curva está acima entre x=0 e x=3.\n
Calculo da diferença valor da reta menos valor da parábola :
x - (x^{2}-2x) = 3x - x^{2} = x(3-x).
Para x no intervalo 0<x<3 temos x>0 e 3-x>0, logo x(3-x)>0. Isso significa que y=x é maior que y=x^{2}-2x no intervalo interior. Um teste rápido: em x=1, a reta dá y=1 enquanto a parábola dá y=1-2=-1, confirmando que a reta está por cima.

Passo 4

Explicar e montar a integral que representa a área.\n
A ideia: a área entre duas curvas de x=a até x=b é dada por
\text{área}=\int_{a}^{b} \bigl(\text{função superior} - \text{função inferior}\bigr)\,dx.áçãçã
Aqui \text{função superior}=xçã e \text{função inferior}=x^{2}-2xçã, e os limites são a=0 e b=3. Portanto a integral que representa a área é
\int_{0}^{3} \bigl(x - (x^{2}-2x)\bigr)\,dx = \int_{0}^{3} (3x - x^{2})\,dx.
Breve lembrete de como integrar polinômios: pela regra da potência, \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C. Aplicamos isso termo a termo.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo.\n
Encontramos uma primitiva de 3x - x^{2}:
\int (3x - x^{2})\,dx = \frac{3}{2}x^{2} - \frac{1}{3}x^{3} + C.
Agora avaliamos de 0 a 3:
\left(\frac{3}{2}x^{2} - \frac{1}{3}x^{3}\right)\Bigg|_{0}^{3} = \left(\frac{3}{2}\cdot 3^{2} - \frac{1}{3}\cdot 3^{3}\right) - 0.
Calculemos cada termo:
\frac{3}{2}\cdot 3^{2} = \frac{3}{2}\cdot 9 = \frac{27}{2}, \qquad \frac{1}{3}\cdot 3^{3} = \frac{1}{3}\cdot 27 = 9.
Subtraindo:
\frac{27}{2} - 9 = \frac{27}{2} - \frac{18}{2} = \frac{9}{2}.

Passo 6

Interpretação final e dica para a prova.\n
A área da região fechada entre as duas curvas é \frac{9}{2}. Dica rápida para a prova: sempre comece encontrando os pontos de interseção para fixar os limites, verifique qual função está por cima (pelo sinal da diferença ou por um ponto-teste) e então integre a diferença entre as funções.

Resposta

\frac{9}{2}

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