Calcule as integrais:
Determine a área da região delimitada pelas curvas:
y=x^{2}-2 x e y=x.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a área da região delimitada pelas curvas y = x^{2} - 2x e y = x.\n
Informações dadas: as duas equações das curvas, sem outras restrições explícitas. A região pedida é a parte do plano onde essas duas curvas se encontram e fecham uma região limitada — para encontrar essa região precisamos achar os pontos de interseção e decidir qual curva fica por cima entre esses pontos.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção das curvas resolvendo x^{2}-2x = x.\n
Fazendo as contas:
x^{2}-2x = x \implies x^{2}-3x = 0 \implies x(x-3)=0.
Portanto as soluções são x=0 e x=3.\n
Os pontos de interseção são (0,0) e (3,3), pois substituindo em y=x obtemos y=0 e y=3.
Passo 3
Determinar qual curva está acima entre x=0 e x=3.\n
Calculo da diferença valor da reta menos valor da parábola:
x - (x^{2}-2x) = 3x - x^{2} = x(3-x).
Para x no intervalo 0<x<3 temos x>0 e 3-x>0, logo x(3-x)>0. Isso significa que y=x é maior que y=x^{2}-2x no intervalo interior. Um teste rápido: em x=1, a reta dá y=1 enquanto a parábola dá y=1-2=-1, confirmando que a reta está por cima.
Passo 4
Explicar e montar a integral que representa a área.\n
A ideia: a área entre duas curvas de x=a até x=b é dada por
Interpretação final e dica para a prova.\n
A área da região fechada entre as duas curvas é \frac{9}{2}. Dica rápida para a prova: sempre comece encontrando os pontos de interseção para fixar os limites, verifique qual função está por cima (pelo sinal da diferença ou por um ponto-teste) e então integre a diferença entre as funções.