Calcule as integrais:
Determine a área da região delimitada pelas curvas:
y=x^{2} e y=x+2.
Determine a área da região delimitada pelas curvas:
y=x^{2} e y=x+2.
Passo 1
O enunciado dá duas curvas:
e
.
A pergunta é: determinar a área da região limitada por essas duas curvas (ou seja, a área da região onde elas se intersectam e formam uma “folha” fechada).
A pergunta é: determinar a área da região limitada por essas duas curvas (ou seja, a área da região onde elas se intersectam e formam uma “folha” fechada).
Informações relevantes entregues pelo enunciado:
- A primeira curva é
(parábola). - A segunda curva é
(reta). - Precisamos achar a área da região limitada por ambas (isto vai exigir achar os pontos de interseção e integrar a diferença entre a curva superior e a inferior).
Passo 2
Primeiro passo prático: encontrar os pontos de interseção, ou seja, resolver a equação
Passo a passo para resolver:
Fatorando o polinômio:
Portanto as soluções são
Esses são os limites em
entre os quais a região fechada existe: de
até
.
Passo 3
Precisamos saber qual curva está acima da outra no intervalo
, porque a área entre curvas é a integral da curva superior menos a curva inferior.
Teste simples: escolha um ponto dentro do intervalo, por exemplo
.
Calcule as duas funções em :
Calcule as duas funções em
Como
, a reta
está acima da parábola
no intervalo entre as interseções. Logo, a integrando será (reta) - (parábola).
Passo 4
Fórmula que vamos usar (explicação didática): a área entre duas curvas
(embaixo) e
(em cima) no intervalo
é
Aqui:
-
e são os pontos de interseção em (os limites de integração). -
é a função que está por cima no intervalo. -
é a função que está por baixo.
A integral definida dá a “soma” das pequenas faixas verticais de alturae largura infinitesimal , o que resulta na área total.
Passo 5
Aplicando ao nosso caso:
,
,
,
. Montamos a integral:
Passo 6
Agora calculamos a integral definidamente. Primeiro encontramos uma primitiva (antiderivada) da função integranda usando a regra do poder:
Regra do poder: para ,
.
Aplicando termo a termo:
Regra do poder: para
Aplicando termo a termo:
-
, -
, -
.
Assim uma primitiva
de
é
Passo 7
Avaliar a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Calcule
:
Calcule
:
Somando
: coloque em denominador comum
:
Então
.
Agora a diferença:
Colocando em denominador comum
:
Passo 8
Interpretação final e dica para a prova: a região entre
e
tem área
.
Passos rápidos que sempre funcionam em problemas assim:
Passos rápidos que sempre funcionam em problemas assim:
- Resolver
para achar os limites. - Testar um ponto entre os limites para ver qual função é maior (superior).
- Integrar a diferença (superior - inferior) entre os limites.
- Calcular antiderivada usando a regra do poder e avaliar nos extremos.
Força aí — segue esses passos na prova e dá tudo certo!