Calcule as integrais:
Determine a área da região delimitada pelas curvas:
y=x^{2} e y=x+2.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas: y = x^{2} e y = x + 2.
A pergunta é: determinar a área da região limitada por essas duas curvas (ou seja, a área da região onde elas se intersectam e formam uma “folha” fechada).
Informações relevantes entregues pelo enunciado:
  • A primeira curva é y = x^{2} (parábola).
  • A segunda curva é y = x + 2 (reta).
  • Precisamos achar a área da região limitada por ambas (isto vai exigir achar os pontos de interseção e integrar a diferença entre a curva superior e a inferior).

Passo 2

Primeiro passo prático: encontrar os pontos de interseção, ou seja, resolver a equação
x^{2} = x + 2.
Passo a passo para resolver:
x^{2} - x - 2 = 0.
Fatorando o polinômio:
x^{2} - x - 2 = (x-2)(x+1).
Portanto as soluções são
x = 2 \quad \text{e} \quad x = -1.
Esses são os limites em x entre os quais a região fechada existe: de -1 até 2.

Passo 3

Precisamos saber qual curva está acima da outra no intervalo [-1,2], porque a área entre curvas é a integral da curva superior menos a curva inferior.
Teste simples: escolha um ponto dentro do intervalo, por exemplo x=0.
Calcule as duas funções em x=0:
y_{\text{parábola}}(0) = 0^{2} = 0,á
y_{\text{reta}}(0) = 0 + 2 = 2.
Como 2>0, a reta y = x + 2 está acima da parábola y = x^{2} no intervalo entre as interseções. Logo, a integrando será (reta) - (parábola).

Passo 4

Fórmula que vamos usar (explicação didática): a área entre duas curvas y = f(x) (embaixo) e y = g(x) (em cima) no intervalo [a,b] é
\text{Área} = \int_{a}^{b} \bigl(g(x)-f(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui:
  • a e b são os pontos de interseção em x (os limites de integração).
  • g(x) é a função que está por cima no intervalo.
  • f(x) é a função que está por baixo.
    A integral definida dá a “soma” das pequenas faixas verticais de altura g(x)-f(x) e largura infinitesimal dx, o que resulta na área total.

Passo 5

Aplicando ao nosso caso: g(x)=x+2, f(x)=x^{2}, a=-1, b=2. Montamos a integral:
\text{Área} = \int_{-1}^{2} \bigl( (x+2) - x^{2} \bigr)\,dx = \int_{-1}^{2} \bigl( x + 2 - x^{2} \bigr)\,dx.Á

Passo 6

Agora calculamos a integral definidamente. Primeiro encontramos uma primitiva (antiderivada) da função integranda usando a regra do poder:
Regra do poder: para n\neq -1, \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aplicando termo a termo:
  • \displaystyle \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},
  • \displaystyle \int 2\,dx = 2x,
  • \displaystyle \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Assim uma primitiva F(x) de x + 2 - x^{2} é
F(x) = \frac{x^{2}}{2} + 2x - \frac{x^{3}}{3}.

Passo 7

Avaliar a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
\text{Área} = F(2) - F(-1).Á
Calcule F(2):
F(2) = \frac{2^{2}}{2} + 2\cdot 2 - \frac{2^{3}}{3} = \frac{4}{2} + 4 - \frac{8}{3} = 2 + 4 - \frac{8}{3} = 6 - \frac{8}{3} = \frac{18}{3} - \frac{8}{3} = \frac{10}{3}.
Calcule F(-1):
F(-1) = \frac{(-1)^{2}}{2} + 2\cdot(-1) - \frac{(-1)^{3}}{3} = \frac{1}{2} - 2 + \frac{1}{3}.
Somando \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - 2: coloque em denominador comum 6:
\frac{1}{2} + \frac{1}{3} - 2 = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{12}{6} = -\frac{7}{6}.
Então F(-1) = -\dfrac{7}{6}.
Agora a diferença:
\text{Área} = F(2) - F(-1) = \frac{10}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6}.Á
Colocando em denominador comum 6:
\frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}.

Passo 8

Interpretação final e dica para a prova: a região entre y=x^{2} e y=x+2 tem área \dfrac{9}{2}.
Passos rápidos que sempre funcionam em problemas assim:
  1. Resolver x^{2}=x+2 para achar os limites.
  2. Testar um ponto entre os limites para ver qual função é maior (superior).
  3. Integrar a diferença (superior - inferior) entre os limites.
  4. Calcular antiderivada usando a regra do poder e avaliar nos extremos.
Força aí — segue esses passos na prova e dá tudo certo!

Resposta

\dfrac{9}{2}

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