Calcule as integrais ou diga quando são divergentes.
b)
b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida
. Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais definidas envolvendo funções racionais e radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição trigonométrica.
Passo 2
Observamos que o denominador da fração é
. Isso se assemelha à expressão
, para a qual a substituição trigonométrica
é apropriada, já que
.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
. Então, o diferencial
. Agora, substituímos
e
na integral:
Passo 4
Simplificamos o denominador:
Como
é positivo no intervalo considerado, podemos ignorar o valor absoluto.
Passo 5
Substituindo de volta na integral, temos:
Passo 6
Agora, integramos termo a termo:
Como é uma integral definida, vamos avaliar entre os novos limites de integração após a substituição.
Passo 7
Calculamos os novos limites de integração. Quando
:
Quando
:
Passo 8
Avaliar a antiderivada nos limites
e
:
Resposta
A integral
é igual a
.