Calcule as integrais ou diga quando são divergentes.
b) integral0^2 s+1raiz4-s^2 d s

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida . Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais definidas envolvendo funções racionais e radicais. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de substituição trigonométrica.

Passo 2

Observamos que o denominador da fração é . Isso se assemelha à expressão , para a qual a substituição trigonométrica é apropriada, já que .

Passo 3

Vamos fazer a substituição integral 2sintheta + 1raiz4 - (2sintheta)^2 cdot 2costheta , dtheta = integral 2sintheta + 1raiz4 - 4sin^2theta cdot 2costheta , dtheta . Então, o diferencial . Agora, substituímos e na integral:

Passo 4

Simplificamos o denominador:
raiz4 - 4sin^2theta = raiz4(1 - sin^2theta) = raiz4cos^2theta = 2|costheta| = 2costheta
Como é positivo no intervalo considerado, podemos ignorar o valor absoluto.

Passo 5

Substituindo de volta na integral, temos:
integral 2sintheta + 12costheta cdot 2costheta , dtheta = integral (2sintheta + 1) , dtheta

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
integral 2sintheta , dtheta + integral 1 , dtheta = -2costheta + theta + C
Como é uma integral definida, vamos avaliar entre os novos limites de integração após a substituição.

Passo 7

Calculamos os novos limites de integração. Quando 0 = 2sintheta implies theta = 0 :
2 = 2sintheta implies sintheta = 1 implies theta = pi2
Quando :

Passo 8

Avaliar a antiderivada nos limites [ -2costheta + theta ]0^pi2 = ( -2cospi2 + pi2 ) - ( -2cos0 + 0 ) = ( -2 cdot 0 + pi2 ) - ( -2 cdot 1 + 0 ) = pi2 - (-2) = pi2 + 2 e :

Resposta

A integral é igual a .

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