Calcule as integrais ou diga quando são divergentes.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que o exercício pediu: calcular . Esse tipo de integral faz parte do estudo de integrais impróprias, que são aquelas onde a função não é bem comportada em algum ponto do intervalo de integração. Neste caso, a função tem um problema em , então vamos precisar tratar isso com cuidado.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o problema: a função não está definida em , pois dividir por zero não dá certo. Isso significa que temos uma singularidade em . Para calcular essa integral, precisamos dividir o intervalo em duas partes e lidar com o limite quando nos aproximamos de .
Passo 3
Vamos reescrever a integral como a soma de duas integrais:
Aqui, estamos aproximando de por valores negativos () e positivos () para tratar a singularidade.
Passo 4
Vamos calcular a integral geral . Primeiro, reescrevemos como , então:
Para integrar , usamos a regra , desde que .
Passo 5
Aplicando essa regra com :
Passo 6
Agora, vamos aplicar os limites para cada parte da integral:
Para :
Sabemos que (-1)^1/3 = -1, então:
3a^1/3 - (-3) = 3a^1/3 + 3
Quando a to 0^-, a^1/3 to 0, então essa parte se aproxima de 3.
Para integralb^1 dxx^2/3:
3x^1/3 |b^1 = 3(1)^1/3 - 3b^1/3
Sabemos que 1^1/3 = 1, então:
3 - 3b^1/3
Quando b to 0^+, b^1/3 to 0, então essa parte também se aproxima de 3.
Passo 7
Somando as duas partes:
3 + 3 = 6
Portanto, a integral integral-1^1 dxx^2/3 converge e o resultado é 6.
Resposta
A integral integral-1^1 dxx^2/3 converge e seu valor é igual a 6.