Calcule as integrais ou diga quando são divergentes.
a) integral-1^1 d xx^2 / 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que o exercício pediu: calcular integral-1^1 dxx^2/3. Esse tipo de integral faz parte do estudo de integrais impróprias, que são aquelas onde a função não é bem comportada em algum ponto do intervalo de integração. Neste caso, a função 1x^2/3 tem um problema em x = 0, então vamos precisar tratar isso com cuidado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o problema: a função 1x^2/3 não está definida em x = 0, pois dividir por zero não dá certo. Isso significa que temos uma singularidade em x = 0. Para calcular essa integral, precisamos dividir o intervalo em duas partes e lidar com o limite quando nos aproximamos de x = 0.

Passo 3

Vamos reescrever a integral como a soma de duas integrais:
integral-1^1 dxx^2/3 = lima to 0^- integral-1^a dxx^2/3 + limb to 0^+ integralb^1 dxx^2/3
Aqui, estamos aproximando x de 0 por valores negativos ( a to 0^-) e positivos ( b to 0^+) para tratar a singularidade.

Passo 4

Vamos calcular a integral geral integral dxx^2/3. Primeiro, reescrevemos x^2/3 como x^2/3 = x^2/3, então:
integral dxx^2/3 = integral x^-2/3 dx
Para integrar x^n, usamos a regra integral x^n dx = x^n+1n+1 + C, desde que n neq -1.

Passo 5

Aplicando essa regra com n = -2/3:
integral x^-2/3 dx = x^-2/3 + 1-2/3 + 1 + C = x^1/31/3 + C = 3x^1/3 + C

Passo 6

Agora, vamos aplicar os limites para cada parte da integral:
Para integral-1^a dxx^2/3:
3x^1/3 |-1^a = 3a^1/3 - 3(-1)^1/3
Sabemos que (-1)^1/3 = -1, então:
3a^1/3 - (-3) = 3a^1/3 + 3
Quando a to 0^-, a^1/3 to 0, então essa parte se aproxima de 3.
Para integralb^1 dxx^2/3:
3x^1/3 |b^1 = 3(1)^1/3 - 3b^1/3
Sabemos que 1^1/3 = 1, então:
3 - 3b^1/3
Quando b to 0^+, b^1/3 to 0, então essa parte também se aproxima de 3.

Passo 7

Somando as duas partes:
3 + 3 = 6
Portanto, a integral integral-1^1 dxx^2/3 converge e o resultado é 6.

Resposta

A integral integral-1^1 dxx^2/3 converge e seu valor é igual a 6.

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