Calcule
v) integral tg(x) sec ^3 / 2(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando funções trigonométricas. Para isso, vamos usar o método de substituição, que ajuda a simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para tornar a integral mais simples. Vamos definir:
u = sec(x)
Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = sec(x) tan(x) em relação a du = sec(x) tan(x) , dx :
Isso significa que:

Passo 3

Olha só, na nossa integral original temos tan(x) sec^3/2(x) , dx = sec^1/2(x) cdot sec(x) tan(x) , dx = sec^1/2(x) , du . Vamos reescrever isso usando a substituição que fizemos:
integral sec^1/2(x) , du
Ou seja, a integral fica:
integral u^1/2 , du
Como , podemos escrever como . Então, a integral se torna:

Passo 4

Agora, é só integrar integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C em relação a 23 sec^3/2(x) + C :
Substituindo de volta na expressão, temos:

Resposta

A integral é igual a .

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